PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 25

Dividiendo todos los términos por \(yy^\prime \) la ecuación toma la forma:
    \( \displaystyle \frac{y^{\prime \prime}}{y^\prime} - \frac{y^\prime}{y} = \frac{1}{1+x} \)
Que es una ecuación homogénea en y, y' e y'' para la que podemos hacer el cambio y'/y = u. De ese modo
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{y^\prime}{y} = u \Rightarrow y' = uy \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow y^{\prime \prime} = uy' + u'y = u^2y + u'y \Rightarrow \frac{y^{\prime \prime}}{y'} = \frac{u' + u^2}{u} \end{array} \)
Y la ecuación queda en la forma
    \( \displaystyle \frac{u' + u^2}{u} - u = \frac{1}{1+x} \quad ; \quad u' + u^2 - u^2 = u' = \frac{u}{1+x} \)
Separando variables e integrando obtenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{1+x} + K \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \ln u = \ln (1+x) + \ln C_1 \Rightarrow u = C_1(1+x) \end{array} \)
Y deshaciendo el cambio:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{y'}{y} = C_1(1+x) \; ; \; \int \frac{dy}{y} = \int C_1(1+x)dx + C_2 \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \ln y = C_1 \left(1 + \frac{x^2}{2}\right) + \ln K \end{array}\)
Con lo que finalmente resulta:
    \( \displaystyle y = K \exp \left[C_1 \left(1 + \frac{x^2}{2}\right)\right] \)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás