PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 24

Esta es una ecuación en la que falta explícitamente la variable x. Podemos hacer, entonces, el cambio:
    \( \displaystyle y' = p \Rightarrow y^{\prime \prime} = \frac{dy'}{dx} = \frac{dp}{dy}·\frac{dy}{dx} = \frac{dp}{dy}·p = p'·p \)
Y la ecuación del enunciado puede escribirse entonces en la forma:
    \( \displaystyle y·p·p' + p^2 = 0 \Rightarrow p' = - \frac{p}{y} \qquad (*) \)
Si hacemos el cambio v = p/y podemos escribir:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    v = \frac{p}{y} \Rightarrow p = v·y \Rightarrow p' = v'·y + v = - v \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow v'·y = - 2v \Rightarrow y·dv = - 2v·dy
    \end{array}\)
Donde hemos tenido en cuenta (*). Separando variables para integrar:
    \( \displaystyle \int \frac{2dy}{y} + \int \frac{dv}{v} = K \Rightarrow 2\ln y + \ln v = \ln C_1 \Rightarrow vy^2 = C_1 \)
Si deshacemos los cambios nos queda:
    \( \displaystyle py = C_1 \; ; \; yy' = C_1 \Rightarrow ydy = C_1dx \Rightarrow \frac{1}{2}y^2 = C_1x + C_2 \)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás