PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 23

Vamos a considerar un cambio general de la forma \( x \rightarrow z \); tendremos entonces, siendo z = z(x):
    \( \displaystyle y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}·\frac{dz}{dx} \; ; \; y^{\prime \prime} = \frac{d^2y}{dz^2}·\left(\frac{dz}{dx}\right)^2 + \frac{d^2 y}{dx^2}·\frac{dy}{dz} \)
Y la ecuación quedará en la forma:
    \( \displaystyle \left(\frac{dz}{dx}\right)^2\frac{d^2y}{dz^2} + \left[\frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\frac{dz}{dx}\right]\frac{dy}{dz} + q(x)y = 0 \)
Si escribimos esta ecuación en su forma normal, nos queda
    \( \displaystyle \frac{d^2y}{dz^2} + \frac{ \displaystyle \left[\frac{d^2y}{dx^2} + p(x)·\frac{dz}{dx}\right]}{\left( \displaystyle \frac{dz}{dx}\right)^2}·\frac{dy}{dz} + \frac{q(x)}{\left( \displaystyle \frac{dz}{dx}\right)^2}·y = 0 \)
El valor de z debe ser tal que haga a los coeficientes de y' e y constantes. Sin pérdida de generalidad, podemos hacer que el coeficiente de y valga 1, en consecuencia tendremos:
    \( \displaystyle \frac{q(x)}{\left(\frac{dz}{dx}\right)^2} = 1 \Rightarrow q(x) = \left(\frac{dz}{dx}\right)^2 \; ; \; z = \int q^{1/2}dx \qquad (A) \)
Y este valor de z debe ser tal que se tenga:
    \( \displaystyle \frac{z^{\prime \prime} + p(x)z^\prime}{q} = K \)
Pero teniendo en cuenta cómo hemos tomado z:
    \( \displaystyle \frac{dz}{dx} = z^\prime = q^{1/2} \quad \Rightarrow \quad z^{\prime \prime} = \frac{1}{2}q^{-1/2}q^\prime \)
Y sustituyendo en la expresión anterior:
    \( \displaystyle \frac{(1/2)·q^{-1/2}·q' + p·q^{-1/2}}{q} = \frac{q' + 2p·q}{2·q^{3/2}} = K \)
Por lo tanto, para que una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes variables se pueda transformar en una de coeficientes constantes, dichos coeficientes han de verificar la relación anteriormente escrita. Si esta expresión es satisfecha, el cambio viene dado por (A).
Considerando el ejemplo tenemos:
    \( \displaystyle \frac{q' + 2p·q}{2·q^{3/2}} = K \quad ; \quad y^{\prime \prime} + \frac{2}{x}·y' + \frac{3}{x^2}·y = 0 \)
Y tomando \( p(x) = 1/x \textrm{ y } q(x) = 1/x^2 \):
    \( \displaystyle \frac{-2x^{-3} + -2x^{-3}}{2x^{-3}} = 0 \)
Ya que el 2 y el 3 no interfieren en el cálculo.
Lo anterior nos permite hacer un cambio de la forma:
    \( \displaystyle z = \int q^{1/2}dx = \int \frac{1}{x}dx \Rightarrow z = \ln x \Rightarrow x = e^z \)
Resultado que coincide con el propuesto en teoría de resolución de ecuaciones diferenciales con términos de la forma:
    \( x^n y^{(n)} \)
Utilizando la notación operacional tendremos:
    \( \begin{array}{l}
    (x^2·D^2 + 2x·D + 3)y = 0 \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow [\dot{D}(\dot{D} - 1) + 2·\dot{D} + 3]y = (\dot{D}^2 + \dot{D} + 3)y = 0
    \end{array}\)
Y esta ecuación se resuelve fácilmente. Tomando el polinomio auxiliar obtenemos la solución en función de z:
    \( \displaystyle r^2 + r + 3 \; ; \; r = - \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{11}}{2}·i \)
Es decir:
    \( \displaystyle y = \exp\left(- \frac{1}{2}z\right)\left[C_1\cos \left( \frac{\sqrt{11}}{2}\right)z + C_2\sin \left( \frac{\sqrt{11}}{2}\right)z\right] \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás