PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 21

Puesto que tenemos un circuito con resistencia y autoinducción , su ecuación diferencial será de la forma: \( \displaystyle RI + L\frac{dI}{dt} = E(t) \)
Tenemos una ecuación diferencial que no es diferencial exacta, por lo que para resolverla hemos de obtener previamente el factor integrante:
    \( \displaystyle \mu(t) = \frac{1}{P_0}·\exp \int \frac{P_1}{P_0}·dt = \frac{1}{L}·\exp \int \frac{R}{L}·dt = \frac{1}{L}·e^{Rt/L} \)
A partir de ahí podemos obtener la solución general mediante:
    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    I(t) = \frac{1}{\mu P_0}·\exp \int \mu·R(t)·dt + \frac{C}{\mu P_0} = \\
     \\
    = e^{-Rt/L} \int \frac{1}{L}· e^{Rt/L}·E(t)dt + C·e^{-Rt/L}
    \end{array} \)
Si E(t) es constante, la ecuación se integra fácilmente, ya que se tiene:
    \( \displaystyle I(t) = \frac{E}{R}e^{-Rt/L} \int \frac{R}{L} e^{Rt/L}dt + Ce^{-Rt/L} = \frac{E}{R} + Ce^{-Rt/L} \)
Y siendo I = 0 para t = 0
    \( \displaystyle 0 = \frac{E}{R} + C \quad \Rightarrow \quad C = - \frac{E}{R} \quad \Rightarrow \quad I(t) = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-Rt/L} \right)\)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás