PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 20

Lo que tenemos que hacer es calcular las trayectorias ortogonales al haz dado. La ecuación diferencial del haz dado se obtiene como sigue:
    \( \begin{array}{l}
    x^2 + (y-a)^2 = a^2 \Rightarrow 2x·dx + 2(y-a)dy = 0 \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow 2x + 2(y-a)y' = 0
    \end{array}\)
Pero la constante a vale:
    \( \displaystyle a = \frac{x^2 + y^2}{2y} \)
Con lo que sustituyendo:
    \( \displaystyle 2x + 2\left(y - \frac{x^2 + y^2}{2y}\right)y' = 0 \Rightarrow 2x y + (y^2 - x^2)y' = 0 \)
Según eso, para las líneas ortogonales tendremos:
    \(\displaystyle 2·x y - (y^2 - x^2) \frac{1}{y'} = 0 \Rightarrow 2xydy - (y^2 - x^2)dx = 0 \)
La ecuación obtenida es homogénea y se puede integrar haciendo v = y/x
    \( (1-v^2)dx + 2v(xdv + vdx) = 0 \Rightarrow (1+v^2)dx + 2xvdv = 0\)
Y separando variables:
    \( \displaystyle \frac{dx}{x} + \frac{2vdv}{1+v^2} = 0 \Rightarrow \ln x + \ln (1+v^2) = \ln[x(1+v^2)] = \ln C \)
Tomando antilogaritmos y deshaciendo el cambio de variables:
    \( \displaystyle x(1+v^2) = C \quad ; \quad x \left(1 + \frac{y^2}{x^2} \right) = C\)
Ecuación que también podemos poner en la forma:
    \( \displaystyle x^2 + y^2 = Cx \Rightarrow \left(x - \frac{C}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{C}{2}\right)^2 \)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás