Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Las líneas de corriente originadas por dos fuentes en un flujo bidimensional son las circunferencias:

\( x^2 + (y-a)^2 = a^2 \)

Calcúlense las líneas de igual potencial.

Respuesta al ejercicio 20

Lo que tenemos que hacer es calcular las trayectorias ortogonales al haz dado. La ecuación diferencial del haz dado se obtiene como sigue:

\( \begin{array}{l}
x^2 + (y-a)^2 = a^2 \Rightarrow 2x·dx + 2(y-a)dy = 0 \Rightarrow \\
 \\
\Rightarrow 2x + 2(y-a)y' = 0
\end{array}\)

Pero la constante a vale:

\( \displaystyle a = \frac{x^2 + y^2}{2y} \)

Con lo que sustituyendo:

\( \displaystyle 2x + 2\left(y - \frac{x^2 + y^2}{2y}\right)y' = 0 \Rightarrow 2·x y + (y^2 - x^2)y' = 0 \)

Según eso, para las líneas ortogonales tendremos:

\(\displaystyle 2·x y - (y^2 - x^2) \frac{1}{y'} = 0 \Rightarrow 2·xy·dy - (y^2 - x^2)dx = 0 \)

La ecuación obtenida es homogénea y se puede integrar haciendo v = y/x

\( (1-v^2)dx + 2v(xdv + vdx) = 0 \Rightarrow (1+v^2)dx + 2xv·dv = 0\)

Y separando variables:

\( \displaystyle \frac{dx}{x} + \frac{2v·dv}{1+v^2} = 0 \Rightarrow \ln x + \ln (1+v^2) = \ln[x(1+v^2)] = \ln C \)

Tomando antilogaritmos y deshaciendo el cambio de variables:

\( \displaystyle x(1+v^2) = C \quad ; \quad x \left(1 + \frac{y^2}{x^2} \right) = C\)

Ecuación que también podemos poner en la forma:

\( \displaystyle x^2 + y^2 = C·x \Rightarrow \left(x - \frac{C}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{C}{2}\right)^2 \)