PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 19


En primer lugar planteamos la ecuación diferencial del haz de parábolas:
    \( \displaystyle y = ax^2 \; ; \; y' = 2ax = 2 \left(\frac{y}{x^2}\right)x \Rightarrow xy' - 2y = 0 \)
Las pendientes de las curvas ortogonales a las parábolas consideradas son perpendiculares a las de estas parábolas; por consiguiente, tendremos:
    \( \displaystyle Y' = - \frac{1}{y'} \Rightarrow Y' = - \frac{x}{2y} \Rightarrow 2ydy + xdx = 0 \Rightarrow y^2 + \frac{x^2}{2} = C \)
Y esa es la ecuación pedida.
El problema es un caso particular del de encontrar la ecuación de las curvas que corten con ángulo cualquiera, w, a un haz cuya ecuación se da.
El problema en este caso se resuelve como sigue. Siendo C una curva representativa de la familia dada, en el punto P se tendrá:
    \( y' = \tan \theta \)
Análogamente, siendo T una de las curvas que cortan al haz dado con un ángulo w, en el mismo punto P se verificará la ecuación:
    \( y' = \tan \phi \)
Pero entre los ángulos implicados se tienen las siguientes relaciones:
    \(\displaystyle \theta + \omega = \phi \; ; \; \tan \theta = \tan (\phi - \omega) = \frac{\tan \phi - \tan \omega}{1 + \tan \phi \tan \omega} \)
Con lo que finalmente podemos escribir:
    \( \displaystyle y' = \frac{Y^{\; \prime} - \tan \omega}{1 + Y^{\; \prime} \tan \omega}\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás