PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 17

Para resolver esta ecuación hacemos el cambio v = x + y con lo cual v’ = y’ + 1, con lo que resulta:
    \(\displaystyle y' = \frac{v}{3v-4}\; ; \; v' - 1 = \frac{v}{3v-4}\; \Rightarrow \; v' = \frac{2v-4}{3v-4} \)
Y separando variables para integrar:
    \( \displaystyle \int \frac{3v-4}{2v-4}dv = \int dx + C \Rightarrow \int dv + \frac{vdv}{2v-4} = \int dx + C \)
De estas integrales, la segunda del primer miembro no es inmediata y se puede integrar por partes haciendo:
    \( \displaystyle \int \frac{vdv}{2v-4} = \frac{v}{2} \ln (2v-4) - \frac{1}{2} \int \ln (2v-4)dv \)
Y operando de igual modo para esta segunda integral:
    \( \displaystyle \frac{1}{2} \int \ln (2v-4)dv = \frac{1}{4}(2v-4) \ln(2v-4) - \frac{1}{2}v \)
De donde resulta:
    \( \displaystyle \frac{vdv}{2v-4} = \frac{v}{2}\ln (2v-4) - \frac{(2v-4)}{4}\ln (2v-4) + \frac{v}{2} = \ln (2v-4) + \frac{v}{2} \)
Y finalmente:
    \( \displaystyle \ln (2v-4)+ \frac{3v}{2} = x + C \Rightarrow \ln (2x + 2y - 4) + \frac{3y}{2}+ \frac{x}{2} = C \)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás