PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 16

Podemos convertir la ecuación en homogénea mediante el cambio x = X + h e y = Y + k donde h y k se obtienen a partir del sistema:
    \( k + 1 = 0 \; ; \; h + k 1 = 0 \)
del que obtenemos como solución
    \( k = -1 \; ; \; h = 2 \; ; \; x = X + 2 \; ; \; y = Y 1 \)
Tenemos entonces, después de hacer el cambio v = Y/X:
    \( \displaystyle Y' = \frac{Y}{X+Y} \; \Rightarrow \; v + Xv' = \frac{v}{1+v} \; ; \; Xv' = - \frac{v^2}{1+v} \)
Y separando variables:
    \( \displaystyle \int \frac{(1+v)dv}{v^2} = \int \frac{dX}{X} + K\)
O lo que es igual:
    \( \displaystyle - \frac{1}{v} + \ln v = \ln X - \ln C \Rightarrow \ln \left(C\frac{v}{X} \right) = \frac{1}{v} \)
Y deshaciendo el cambio:
    \(\displaystyle \ln \left(C\frac{Y}{X^2} \right) = \frac{X}{Y}\; \Rightarrow \; \ln \left[C\frac{y+1}{(x-2)^2} \right] = \frac{x-2}{y+1} \)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás