PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 13

Consideremos una curva cualquiera y = y(x).

curva cualquiera

La normal en el punto (xo, yo) de dicha curva tiene por ecuación:
    \( \displaystyle y_0 - x_0 = - \frac{1}{y'_0}(x_0 - x_1) \)
Si esta recta tiene que pasar por el origen, se cumplirá \( y_1 = 0 \; ; \; x_1 = 0 \), y la ecuación que la define quedará en la forma:
    \( \displaystyle y_0 = - \frac{x_0}{y'_0} \)
Y generalizando para cualquier punto (x, y):
    \( \displaystyle y = - \frac{x}{y'} \quad ; \quad ydy + xdx = 0 \)
La ecuación resultante es fácil de integrar ya que se tiene:
    \( \displaystyle d\left(\frac{y^2}{2}\right) + d\left(\frac{x^2}{2}\right) = C \Rightarrow \left(\frac{y^2}{2}\right) + \left(\frac{x^2}{2}\right) = C \Rightarrow y^2 + x^2 = K \)
Así que las curvas que cumplen la condición del problema son circunferencias con centro en el origen.
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás