PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Encontrar la ecuación diferencial de la familia de curvas tales que la normal en un punto cualquiera pase por el origen.

Respuesta al ejercicio 13

Consideremos una curva cualquiera y = y(x).

curva cualquiera

La normal en el punto (xo, yo) de dicha curva tiene por ecuación:
    \( \displaystyle y_0 - x_0 = - \frac{1}{y'_0}(x_0 - x_1) \)
Si esta recta tiene que pasar por el origen, se cumplirá \( y_1 = 0 \; ; \; x_1 = 0 \), y la ecuación que la define quedará en la forma:
    \( \displaystyle y_0 = - \frac{x_0}{y'_0} \)
Y generalizando para cualquier punto (x, y):
    \( \displaystyle y = - \frac{x}{y'} \quad ; \quad ydy + xdx = 0 \)
La ecuación resultante es fácil de integrar ya que se tiene:
    \( \displaystyle d\left(\frac{y^2}{2}\right) + d\left(\frac{x^2}{2}\right) = C \Rightarrow \left(\frac{y^2}{2}\right) + \left(\frac{x^2}{2}\right) = C \Rightarrow y^2 + x^2 = K \)
Así que las curvas que cumplen la condición del problema son circunferencias con centro en el origen.
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
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tema escrito por: José Antonio Hervás