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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Encontrar la ecuación diferencial del haz de elipses con centro en el origen y ejes los de coordenadas.

Respuesta al ejercicio 12

La ecuación general de las elipses con centro en el origen y ejes los de coordenadas, es:
    \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
Por consiguiente, para encontrar su ecuación diferencial debemos derivar dos veces para eliminar las dos constantes. En la primera derivación tenemos:
    \( \displaystyle \frac{2x}{a^2}·dx + \frac{2y}{b^2}·dy = 0 \Rightarrow y' = \frac{dy}{dx} = - \frac{b^2}{a^2}·\frac{x}{y} \)
Y por la segunda:
    \( \displaystyle y^{\prime \prime} = \frac{b^2}{a^2}·\frac{1}{y} + \frac{b^2}{a^2}·\frac{x}{y^2}·y' \)
Pero por la primera derivación tenemos:
    \( \displaystyle y' = - \frac{b^2}{a^2}\frac{x}{y} \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = - \frac{y}{x}y' \)
Con lo que sustituyendo
    \( \displaystyle y^{\prime \prime} = \frac{b^2}{a^2}\frac{1}{y} + \frac{b^2}{a^2}\frac{x}{y^2}y' = \frac{1}{x}y' - \frac{1}{y}(y')^2\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás