PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 6
En primer lugar vamos a comprobar si la ecuación es diferencial exacta :
    \( \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}\left(y-x^3\right) = 1 \; ; \; \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}\left(x-y^3\right) = 1\)
Puesto que se cumple la condición requerida integramos como sigue :
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    P = U_x = (y-x^3) \Rightarrow U(x, y) = \\
     \\
    = \int (y-x^3)dx + \varphi (y) = y·x - \frac{x^4}{4} + \varphi (y)
    \end{array}\)
Para conocer el valor de la función \(\varphi (y)\) derivamos la anterior expresión respecto de y e igualamos a Q:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial }{\partial y} \left[y·x - \frac{x^4}{4} + \varphi (y)\right] = x + \varphi'(y) = x - y^3 \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow \varphi' (y) = - y^3 \; ; \; \varphi (y) = - \frac{y^4}{4}
    \end{array}\)
Así pues, la solución general de la ecuación estudiada será :
    \( \displaystyle U(x, y) = yx - \frac{x^4}{4} - \frac{y^4}{4} = C \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás