PROBLEMAS RESUELTOS
MATEMÁTICAS
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Estás en
Matemáticas y Poesía

Problemas y ejercicios resueltos

ver enunciado del ejercicio en

Ejercicios resueltos de EDO

 

Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 3
Esta ecuación es homogénea por ser el numerador y denominador funciones del mismo grado. Haciendo el cambio v = y/x , obtenemos :
    \( \displaystyle y' = \frac{4v - 3}{2-v} \; ; \; v+xv' = \frac{4v - 3}{2-v} \; ; \; xv' = \frac{v^2 + 2v - 3}{2-v} \)
y separando variables:
    \( \displaystyle \frac{(2-v)dv}{v^2 + 2v - 3} = \frac{dx}{x} \; ; \; \frac{(2-v)dv}{(v-1)(v+3)} = \frac{dx}{x} \)
Aplicando el método de los coeficientes indeterminados para separar en fracciones simples el primer miembro, tenemos :
    \( \displaystyle \int \frac{dv}{4(v-1)} - \int \frac{5dv}{4(v+3)}= \int \frac{dx}{x} + C \)
o lo que es igual :
    \( \displaystyle \frac{1}{4}\ln (v-1) - \frac{5}{4}\ln (v+3) = \ln x + \ln C \Rightarrow \frac{|v-1|}{|v+3|^5} = C|x|^4 \)
Finalmente, deshaciendo el cambio y simplificando :
    \( |y-x| = C|y+3x|^5 \)
Ejercicios resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás