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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Resolver la ecuación diferencial :
    \(y' = p(x)y = 0\)
con la condición y(0) = 1 siendo :
    \( p(x) = \left\{\begin{array}{l}
    2 \quad \forall \quad 0 \leq x \leq 1 \\
    \\
    1 \quad \forall \quad x > 1
    \end{array}\right. \)
Respuesta al ejercicio 1
Esta ecuación es del tipo lineal por ser de primer grado en y' e y. La ecuación tendrá una solución para cada uno de los intervalos indicados. Calculamos la primera de ellas con la condición y(0) = 1.
    \(y' + 2y = 0 \; ; \; dy + 2ydx = 0 \; ; \; \displaystyle \frac{dy}{y} + 2dx = 0 \; ; \; \ln y + 2x = \ln C \)
Si tomamos antilogaritmos tenemos :
    \( y = Ce^{-2x} \; ; \; 1 = C \Rightarrow y = e^{-2x} \quad \forall \quad 0 \leq x \leq 1 \)
La ecuación resultante toma para x = 1 el valor e-2 con lo que la siguiente ecuación tenemos que resolverla en la forma :
y' + y = 0 ; con la condición y(1) = e-2
Tenemos según eso :
    \(y' + y = 0 \; ; \; dy + ydx = 0 \; ; \; \displaystyle \frac{dy}{y} + dx = 0 \; ; \; \ln y + x = \ln C \)
y considerando el valor y(1) = e-2
    \( e^{-2} = Ce^{-1} \; ; \; C = e^{-1} \Rightarrow y = e^{-1}e^{-x} = e^{-(x+1)} \quad \forall \quad x > 1 \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás