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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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Enunciado 41

Obtener la solución de la siguiente ecuación diferencial:
    \( y\,^{\prime \prime} +2 y\,^\prime = 12\,y - 10 \)
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Enunciado 42

Deducir la respuesta de la ecuación diferencial siguiente:
    \( y\, ^{\prime \prime} + 4\,y = 4 \cos 2x + 6\, \cos x + 8x^2 - 4x\)
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Enunciado 43

Comprobar que las funciones \(x, x^2 \) son linealmente independientes pero que su bronsquiano, \( W(x, x^2) \) es nulo en x = 0. Según eso, ¿pueden ser solución de una ecuación diferencial de segundo orden?.
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Enunciado 44

Comprobar que \(x, x^2 \) son soluciones de la ecuación diferencial:
    \( x^2 \, y\,^{\prime \prime} + 2x \, y\,^\prime + 2y = 0 \)
¿Contradice este resultado lo dicho en el problema anterior
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Enunciado 45

Demostrar que si u y v son soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal de segundo orden, entonces:
    \( y_1 = u+v \qquad ; \qquad y_2 = u-v \)
Son también un conjunto fundamental de soluciones
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Enunciado 46

Las funciones u y v son soluciones linealmente independientes de una ecuación lineal de segundo orden. Demostrar que entre dos ceros consecutivos de u hay uno y sólo un cero de v.
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Enunciado 47

Considérese la ecuación diferencial y" + y = g(t), con las condiciones y(0) = 0; y'(0) = 0. Demostrar que la solución general de la anterior ecuación se pued escribir en la forma:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    y = \left(C_1 - \int_\alpha ^t g(s)\sin s · ds\right)\cos t + \\
     \\
    + \left(C_2 + \int_\beta ^t g(s)\cos s · ds\right)\sin t
    \end{array}\)

Siendo \(\alpha \; y \; \beta \) dos puntos cualesquiera.

Demostrar también que las soluciones corresponden a

    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    C_1 = \int_\alpha ^t g(s)\sin s · ds \quad ; \\
     \\
    C_2 = - \int_\beta ^t g(s)\cos s · ds \; \Rightarrow \; y(t) = g(t) \ast \sin t
    \end{array}\)

donde el signo * define el llamado producto de convolución.

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Enunciado 48

Resolver la siguiente ecuación diferencial:
    \( x\, y\, ^{\prime \prime} - y^\prime = 3x^2 \)
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Enunciado 49

Resolver la ecuación diferencial:
    \( (1+x^2)y\,^{\prime \prime \prime} + (y\,^{\prime \prime})^2 +1 = 0 \)
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Enunciado 50

Determinar la solución de la ecuación diferencial:
    \( m \, u\, ^{\prime \prime} + c\, u^\prime + k\, u = F_o \sin wt \)
en el caso de que c y k sean constantes que cumplen \(c^2 - 4mk < 0 \) y de que se tenga \( u(0) = u_o, u\,^\prime (0) = 0 \).
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Ejercicios de ecuaciones diferenciales


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tema escrito por: José Antonio Hervás