PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 59

Para calcular el límite de la expresión, la trasformamos como sigue:
    \( \displaystyle \frac{(2n+5)^{2n+5}\times n^{n-3}}{(4n+1)^{n+2}\times (n+3)^{2n}} = \frac{(2n+5)^{2n}\times(2n+5)^5\times n^{2n/2}}{(4n+1)^{2n/2}\times(4n+1)^2\times (n+3)^{2n}\times n^3} \)
Separando por potencias:
    \( \displaystyle \left(\frac{(2n+5)\sqrt{n}}{(n+3)\sqrt{4n+1}}\right)^{2n} \times \left(\frac{2n+5}{n}\right)^3\times\left(\frac{2n+5}{4n+1}\right)^2\)
Tomando límites, tenemos:
    \( \displaystyle \lim \left(\frac{(2n+5)\sqrt{n}}{(n+3)\sqrt{4n+1}}\right)^{2n} \times 2^3\times\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \lim \left(\frac{(2n+5)\sqrt{n}}{(n+3)\sqrt{4n+1}}\right)^{2n} \times 2\)
Operando para calcular el límite que falta, tenemos:
    \( \displaystyle = \lim \left(\frac{(2n+5)\sqrt{n}}{(n+3)\sqrt{4n+1}}\right)^{2n} = \lim \left(\frac{(2n+5)^2 \times n}{(n+3)^2 (4n+1)}\right)^n = \)
    \( \displaystyle = \lim \left(\frac{4n^3 + 10n^2 + 25n}{4n^3+25n^2+42n +9}\right)^n =\)
    \( \displaystyle = \lim \left(\frac{4n^3+25n^2+42n+9-15n^2-17n-9}{4n^3+25n^2+42n+9}\right)^n \)
    \( \displaystyle = \lim \left[\left(1 + \frac{1}{\frac{4n^3+25n^2+42n+9}{15n^2-17n-9}}\right)^{\displaystyle \frac{4n^3+25n^2+42n+9}{15n^2-17n-9}}\right]^X \)
Donde hemos puesto:
    \( \displaystyle X = \frac{15n^3-17n^2-9n}{4n^3+25n^2+42n+9} \)
Quedando finalmente:
    \( \displaystyle X = \lim_{n \to{+}\infty} \frac{15n^3-17n^2-9n}{4n^3+25n^2+42n+9} = -\frac{15}{4} \Rightarrow e^{-15/4} \)
Siendo, por tanto, el límite final:
      \(\displaystyle \lim_{n \to{+}\infty} \frac{(2n+5)^{2n+5}\times n^{n-3}}{(4n+1)^{n+2}\times (n+3)^{2n}} =2\times e^{-15/4} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás