Ejercicios de análisis matemático
Calcular el límite de la expresión :
\( \displaystyle n^2(2n+3)^{n+2}(2n+1)^{-n-4}
\)
Respuesta al ejercicio 58
La expresión se puede transformar como sigue :
\( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty} n^2(2n+3)^{n+2}(2n+1)^{-n-4} = \lim_{n \to{+}\infty} \frac{n^2(2n+3)^{n+2}}{(2n+1)^{n+4}}
\)
Ordenando términos:
\( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty}\left[\frac{n^2}{(2n+1)^2}\times
\left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^n\times \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^2\right]
\)
Tomamos límites sabiendo que el límite de un producto
es igual al producto de los límites:
\( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty}\frac{n^2}{(2n+1)^2}\lim_{n
\to{+}\infty} \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^n\lim_{n \to{+}\infty}
\left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^2 = \)
\( \displaystyle = \frac{1}{4}\lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^nˇ1
= \frac{1}{4}\lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^n
\)
Calculamos el límite de la expresión que falta:
\( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^n
= \lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{2n+1+2}{2n+1}\right)^n =
\lim_{n \to{+}\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2n+1}{2}}\right)^n
= \)
\( \displaystyle = \lim_{n \to{+}\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{2n+1}{2}}\right)^{\frac{2n+1}{2}}\right]^{\frac{2n}{2n+1}}
= e^{\lim \frac{2n}{2n+1}} = e
\)
Por lo tanto el límite final será:
\( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty} \frac{n^2(2n+3)^{n+2}}{(2n+1)^{n+4}}
= \frac{1}{4}\times e = \frac{e}{4}
\)