Ejercicios de análisis matemático

Calcular el límite de la expresión :

\( \displaystyle n^2(2n+3)^{n+2}(2n+1)^{-n-4} \)

Respuesta al ejercicio 58

La expresión se puede transformar como sigue :

\( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty} n^2(2n+3)^{n+2}(2n+1)^{-n-4} = \lim_{n \to{+}\infty} \frac{n^2(2n+3)^{n+2}}{(2n+1)^{n+4}} \)

Ordenando términos:

\( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty}\left[\frac{n^2}{(2n+1)^2}\times \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^n\times \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^2\right] \)

Tomamos límites sabiendo que el límite de un producto es igual al producto de los límites:

\( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty}\frac{n^2}{(2n+1)^2}\lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^n\lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^2 = \)

\( \displaystyle = \frac{1}{4}\lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^n·1 = \frac{1}{4}\lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^n \)

Calculamos el límite de la expresión que falta:

\( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^n = \lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{2n+1+2}{2n+1}\right)^n = \lim_{n \to{+}\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{2n+1}{2}}\right)^n = \)

\( \displaystyle = \lim_{n \to{+}\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{2n+1}{2}}\right)^{\frac{2n+1}{2}}\right]^{\frac{2n}{2n+1}} = e^{\lim \frac{2n}{2n+1}} = e
\)

Por lo tanto el límite final será:

\( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty} \frac{n^2(2n+3)^{n+2}}{(2n+1)^{n+4}} = \frac{1}{4}\times e = \frac{e}{4} \)