Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 57

Tomando límites nos queda :

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty} \left(\sqrt[5]{\frac{2n-3}{3n-4}}\right)^{\left(\frac{n^3-1}{n^3 + n}\right)^{n^2+1}} = \left(\sqrt[5]{\frac{2}{3}}\right)^{\lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{n^3-1}{n^3 + n}\right)^{n^2+1}} \)

Trabajando, entonces, con el exponente:

\( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{n^3-1}{n^3 + n}\right)^{n^2+1}\)

Del que podemos hacer:

\( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{n^3-1}{n^3 + n}\right)^{n^2+1} = \lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{n^3+n-1-n}{n^3 + n}\right)^{n^2+1} = \)

\( \displaystyle = \lim_{n \to{+}\infty}\left[\left(1- \frac{1}{\frac{n^3+1}{n+1}}\right)^{\frac{n^3+n}{n+1}}\right]^{\displaystyle \frac{(n^2+1)(n+1)}{n^3+n}} \)

Tomando de nuevo límites queda:

\( \displaystyle = \lim_{n \to{+}\infty}\left[\frac{1}{e}\right]^{\displaystyle \frac{(n^2+1)(n+1)}{n^3+n}} = \frac{1}{e} \)

Por lo tanto, el límite final será:

\( \displaystyle = \left(\sqrt[5]{\frac{2}{3}}\right)^{1/e} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{5e}} \)