PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 57

Tomando límites nos queda :
    \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty} \left(\sqrt[5]{\frac{2n-3}{3n-4}}\right)^{\left(\frac{n^3-1}{n^3 + n}\right)^{n^2+1}} = \left(\sqrt[5]{\frac{2}{3}}\right)^{\lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{n^3-1}{n^3 + n}\right)^{n^2+1}} \)
Trabajando, entonces, con el exponente:
    \( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{n^3-1}{n^3 + n}\right)^{n^2+1}\)
Del que podemos hacer:
    \( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{n^3-1}{n^3 + n}\right)^{n^2+1} = \lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{n^3+n-1-n}{n^3 + n}\right)^{n^2+1} = \)
    \( \displaystyle = \lim_{n \to{+}\infty}\left[\left(1- \frac{1}{\frac{n^3+1}{n+1}}\right)^{\frac{n^3+n}{n+1}}\right]^{\displaystyle \frac{(n^2+1)(n+1)}{n^3+n}} \)
Tomando de nuevo límites queda:
    \( \displaystyle = \lim_{n \to{+}\infty}\left[\frac{1}{e}\right]^{\displaystyle \frac{(n^2+1)(n+1)}{n^3+n}} = \frac{1}{e} \)
Por lo tanto, el límite final será:
    \( \displaystyle = \left(\sqrt[5]{\frac{2}{3}}\right)^{1/e} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{5e}} \)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás