PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 55

Podemos transformar la expresión como sigue:
    \( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{2n}}+ \cdots + \frac{1}{\sqrt{nn}}\right) = \lim_{n \to{+}\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \left(\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}}+ \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \)
Y finalmente:
    \( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \left(\frac{1^{-\frac{1}{2}}}{1}+\frac{2^{-\frac{1}{2}}}{1}+\cdots + \frac{n^{-\frac{1}{2}}}{1}\right) = \lim_{n \to{+}\infty} \left(\frac{\frac{1^{-\frac{1}{2}}}{1}+\frac{2^{-\frac{1}{2}}}{1}+\cdots + \frac{n^{-\frac{1}{2}}}{1}}{\sqrt{n}}\right) = \)
Aplicando ahora el criterio de STOLZ nos quedará:
    \( \displaystyle \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = \frac{n^{- \frac{1}{2}}}{\sqrt{n}- \sqrt{n-1}} = \frac{n^{- \frac{1}{2}}(\sqrt{n}- \sqrt{n-1})}{n - (n-1)} \)
Y finalmente:
    \( \displaystyle\frac{\sqrt{n}- \sqrt{n-1}}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}+ \frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}} = 1 + 1 = 2 \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás