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ejercicios resueltos de análisis matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Determinar el límite de la expresión:
    \( \displaystyle\frac{1 + \sqrt{2!}+ \sqrt[3]{3!}+ \cdots + \sqrt[n]{n!}}{n^2}\)
Respuesta al ejercicio 53

Segun el criterio de STOLZ tenemos :
    \( \displaystyle \lim \frac{a_n}{b_n}= \lim \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n- b_{n-1}} = \frac{\sqrt[n]{n!}}{2n+1} \)
Si ahora recordamos la fórmula de Stirling:
    \(n! = n^n \times e^{-n}\times \sqrt{2\pi n}\)
Sustiyendo el valor de factorial de n:
    \( \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n^n \times e^{-n}\times \sqrt{2\pi n}}}{2n+1} = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n \times e^{-1}\sqrt[2n]{2\pi n} }{2n+1} = \frac{1}{2e} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás