PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 52

Transformamos la primera expresión, que nos da una indeterminación del primer tipo:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \lim \left(\frac{n+a}{n+1}\right)^{2n+3}= \lim \left(\frac{n+1+a-1}{n+1}\right)^{2n+3}= \\  \\ \lim \left(1 + \frac{a-1}{n+1} \right)^{2n+3} =\lim \left(1 + \frac{1}{\frac{n+1}{a-1}}\right)^{2n+3}= \\  \\ = \lim \left[\left(1 + \frac{1}{\frac{n+1}{a-1}}\right)^{\frac{n+1}{a-1}}\right]^{\frac{(2n+3)(a-1)}{n+1}} = e^{\lim \displaystyle \frac{(2n+3)(a-1)}{n+1}} \\ \end{array}\)
Para la segunda, de igual forma, hacemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \lim \left(\frac{n+3}{n+2}\right)^{bn+4}= \lim \left(\frac{n+2+1}{n+2}\right)^{bn+4}= \\  \\ \lim \left(1 + \frac{1}{n+2}\right)^{bn+4} =\lim \left[\left(1 + \frac{1}{n+2}\right)^{n+2}\right]^{\frac{bn+4}{n+2}} = \\  \\ = e^\lim \displaystyle \frac{bn+4}{n+2} \\ \end{array}\)
Tomando logaritmos neperianos en ambas expresiones tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \lim \frac{(2n+3)(a-1)}{n+1} = \lim \frac{bn+4}{n+2}\; ; \\
     \\
    \; \lim \frac{(2a-2) + 3a-3}{n+1} = \lim \frac{bn+4}{n+2}
    \end{array}\)
Ll evando al límite, tenemos:
    \( \displaystyle 2a-2 = b \Rightarrow a = \frac{b+2}{2} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás