Ejercicios de análisis matemático
Calcular el límite de la la expresión :
\(\displaystyle \left(\frac{n^2+3n - 5}{n^2 - 4n + 2}\right)^{\displaystyle
\frac{n^2 + 5}{n+2}}\)
Respuesta al ejercicio 49
Sabemos que el límite de una expresión de este tipo
que en el límite se convierte en una inteminación
del tipo \(1^\infty\) vale \(e^\alpha\), donde \(\alpha\) es un
número finito; por lo tanto, vamos a convertir la base
en la forma:
\( \displaystyle \left(\frac{n^2+3n - 5}{n^2 - 4n + 2}\right)=
\left(\frac{n^2- 4n+2 + 3n-5 +4n- 2}{n^2 - 4n + 2}\right)=\)
\( \left(1 +\frac{1}{ \displaystyle = \left(1
+\frac{7n-7}{n^2 - 4n + 2}\right)= \frac{n^2 - 4n + 2}{7n-7}}\right)
\)
Por tanto, podemos hacer:
\( \displaystyle Lím \left[\left(1 +\frac{1}{ \displaystyle
\frac{n^2 - 4n + 2}{7n-7}}\right)^{\displaystyle \frac{n^2-4n+2}{7n-7}}
\right]^{\displaystyle \frac{n^2+5}{n+2}:\frac{n^2-4n+2}{7n-7}}
=\)
\( \displaystyle (e)^{ \displaystyle \frac{(n^2+5)(7n-7)}{(n+2)(n^2-4n+2)}}=
e^7\)
Por ser el exponente una expresión racional cuyo límite
vale 7.