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ejercicios resueltos de análisis matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Calcular el límite de la la expresión :
    \(\displaystyle \left(\frac{n^2+3n - 5}{n^2 - 4n + 2}\right)^{\displaystyle \frac{n^2 + 5}{n+2}}\)
Respuesta al ejercicio 49

Sabemos que el límite de una expresión de este tipo que en el límite se convierte en una inteminación del tipo \(1^\infty\) vale \(e^\alpha\), donde \(\alpha\) es un número finito; por lo tanto, vamos a convertir la base en la forma:
    \( \displaystyle \left(\frac{n^2+3n - 5}{n^2 - 4n + 2}\right)= \left(\frac{n^2- 4n+2 + 3n-5 +4n- 2}{n^2 - 4n + 2}\right)=\)

    \( \left(1 +\frac{1}{ \displaystyle = \left(1 +\frac{7n-7}{n^2 - 4n + 2}\right)= \frac{n^2 - 4n + 2}{7n-7}}\right) \)
Por tanto, podemos hacer:
    \( \displaystyle Lím \left[\left(1 +\frac{1}{ \displaystyle \frac{n^2 - 4n + 2}{7n-7}}\right)^{\displaystyle \frac{n^2-4n+2}{7n-7}} \right]^{\displaystyle \frac{n^2+5}{n+2}:\frac{n^2-4n+2}{7n-7}} =\)

    \( \displaystyle (e)^{ \displaystyle \frac{(n^2+5)(7n-7)}{(n+2)(n^2-4n+2)}}= e^7\)
Por ser el exponente una expresión racional cuyo límite vale 7.
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tema escrito por: José Antonio Hervás