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ejercicios resueltos de análisis matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Determinar el caracter de la serie de término general:
    \( \displaystyle a_n = \frac{\sqrt[3]{n+2}}{n^3+1}\)
Respuesta al ejercicio 44

Para ver si la serie es convergente, aplicamos el criterio de Pringsteim; tenemos:

    \( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty}{\frac{a_n}{1/n^p}} = \lim_{n \to{+}\infty}{\left[\frac{ n^p}{n^3+1}\sqrt[3]{n+2}\right]} \)
Y continuando:
    \( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty}{\frac{a_n}{1/n^p}} = \lim_{n \to{+}\infty}{\left[\sqrt[3]{\frac{(n+2)n^{3p}}{(n^3+1)^3}}\right]} = \lim_{n \to{+}\infty}{\left[\sqrt[3]{\frac{n^{3p+1}+2n^{3p}}{(n^3+1)^3}}\right]} \)
Si hacemos \(3p+1 = 9 \) el límite de la expresión anterior será 1 y, por lo tanto, tendremos \( p = 8/3 > 1 \) por lo que resulta que la serie será convergente.
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tema escrito por: José Antonio Hervás