PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 43

En primer lugar, averiguamos si se verifica la condición necesaria de que el término general de la serie tienda a cero. Según la fórmula de Stirling, tenemos:
    \( n! = n^n e ^{-n} \sqrt{2 \pi n}\)
De ahí podemos hacer:
    \( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty}{a_n} = \lim_{n \to{+}\infty}{\frac{e^n}{n^n e ^{-n} \sqrt{2 \pi n}}} = \lim_{n \to{+}\infty}{ \left(\frac{e^2}{n}\right)^n} \frac{1}{\sqrt{2 \pi n}} = 0\)
Aplicamos el criterior de D'Alambert y resulta:
    \( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim_{n \to{+}\infty}{\frac{n! e^{n+1}}{(n+1)! e^n}} = \lim_{n \to{+}\infty}{\frac{e}{n+1}} = 0\)
Y, por lo tanto, la serie es convergente.
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tema escrito por: José Antonio Hervás