PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de Analisis Matemático

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas y ejercicios resueltos

 

Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 42

Analizamos el caracter de la serie dada, aplicando el criterio de D'Alambert (criterio del cociente) . Tenemos:
    \( \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle \frac{1}{2} \frac{135 \cdots (2n-1)[2(n+1)-1]}{468 \cdots (2n+2)[2(n+1)+2]}}{\displaystyle \frac{1}{2} \frac{135 \cdots (2n-1)}{468 \cdots (2n+2)}} = \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)+2}\)
Con lo que, finalmente, llevando al límite:
    \( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim_{n \to{+}\infty}{\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)+2}} = 1\)
Y en este caso, al ser el límite 1, no se puede determinar el caracter de la serie.

Aplicamos el criterio de Raabe, para el que se tiene que cumplir lo dicho en el ejercicio 41.Hacemos:
    \( \displaystyle n \left[1 - \frac{2(n+1)-1}{2(n+1)+2}\right] = n \left[1 - \frac{2n+1}{2n+4}\right] = n \left[\frac{2n+4 - (2n+1)}{2n+4}\right] = \frac{3n}{2n+4}\)
Y, a partir de ahí:
    \( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty}{n\left(1 - \frac{a_{n+1}}{a_n}\right)} = \frac{3}{2}> 1\)
Y la serie es convergente.
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás