PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 41

Para analizar el caracter de la serie dada, aplicamos el criterio del cociente o de D'Alambert. Tenemos:
    \( \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{ \displaystyle \frac{1}{n+1}\left(1 - \frac{\pi}{1}\right)\left(1 - \frac{\pi}{2}\right)\cdots \left(1 - \frac{\pi}{n}\right) \left(1 - \frac{\pi}{n+1}\right) }{ \displaystyle \frac{1}{n}\left(1 - \frac{\pi}{1}\right)\left(1 - \frac{\pi}{2}\right)\cdots\left(1 - \frac{\pi}{n}\right)} \)
Y simplificando:
    \( \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n}{n+1}\left(1 - \frac{\pi}{n+1}\right) = \frac{n}{n+1} \left( \frac{(n+1)- \pi}{n+1}\right) = \frac{n(n+1) - n \pi}{(n+1)(n+1)}\)
Con lo que, finalmente, llevando al límite:
    \( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}} = \lim_{n \to{+}\infty}{\frac{n(n+1) - n \pi}{(n+1)(n+1)}} = 1\)
Y en este caso no podemos determinar el caracter de la serie.

Vamos a aplicar, entonces, alternativamente, el criterio de Raabe, según el cual, si \( \forall \; n \geq p \) se verifica:
    \( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty}{n\left(1 - \frac{a_{n+1}}{a_n}\right)} > 1\)
La serie \(\sum a_n \) de términos positivos es convergente.

Hacemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} n \left[1 - \frac{n}{n+1}\left(1 - \frac{\pi}{n+1}\right)\right] = n - \frac{n^2}{n+1}\left(1 - \frac{\pi}{n+1}\right) =\\  \\ n - \frac{n^3+n^2- \pi n^2}{(n+1)^2} = \frac{n(n+1)^2(n^3+n^2- \pi n^2)}{(n+1)^2} = \\  \\ = \frac{n^2 + n + \pi n^2}{(n+1)^2} = \frac{n^2(1+ \pi)+ n }{(n+1)^2} \\ \end{array}\)
Y, a partir de ahí:
    \( \displaystyle \lim_{n \to{+}\infty}{n\left(1 - \frac{a_{n+1}}{a_n}\right)} = 1+ \pi > 1\)
Por lo que la serie es convergente.
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tema escrito por: José Antonio Hervás