Ejercicios de análisis matemático - Respuesta 40

El término general se puede escribir en la forma:

\( \displaystyle 0,233 \; \cdots = \frac{1}{5}+ 3 \times 10^{-2} + 3 \times 10^{-3} + \cdots = \frac{1}{5} + 3\left(10^{-2} + 10^{-3} + \cdots \right) \)

Entre paréntesis tenemos la suma de una progresión geométrica de razón 10^-1 que vale:

\( \displaystyle S_n = a_1 \left(\frac{r^n -1}{r-1}\right) \rightarrow S_\infty = a_1 \left(\frac{r^{\infty} -1}{r-1}\right) = - \frac{a_1}{r-1} = - \frac{10^{-2}}{10^{-1}-1} = \frac{1}{90} \)

Con lo que, finalmente, tendremos:

\( \displaystyle 0,233 \; \cdots = \frac{1}{5}+ 3 \left(\frac{1}{90} \right) = \frac{1}{5} + \frac{1}{30} = \frac{7}{30}\)

Que es la expresión racional del número decimal dado.