PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio39

Una sucesión es convergente si cumple la condición de Cauchy, es decir:
    \( \forall \varepsilon \in R^+ \exists \; N \quad | \quad \forall p, q \geq N \quad |r_p - r_q| < \varepsilon \)
Siendo p = N+1 ; q = N, y tenemos:
    \( \displaystyle \left|(-1)^{N+1} + \frac{1}{N+1}- \left\{ (-1)^N + \frac{1}{N}\right\}\right| = \left|(-1)^n[(-1)^1-1] + \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N} \right| \)


    \( \displaystyle = \left|-2(-1)^N - \frac{1}{N^2+N}\right| = \left|2(-1)^N + \frac{1}{N^2+N}\right| \geq \left|2(-1)^N \right| - \left| \frac{1}{N^2+N}\right| = \)

    \( \displaystyle = 2 - \left| \frac{1}{N^2+N}\right| \)
Observamos que cuando N se hace arbitrariamente grande, el segundo término de la expresión final tiende a cero y, por tanto, en el límite, la sucesión estudiada es mayor que 2 y no cumple el criterio de Cauchy por lo que no es convergente.
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tema escrito por: José Antonio Hervás