PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Demostrar que la sucesión:
    \( \displaystyle r_n = \frac{(-1)^n(n+1)}{n} \)
No es convergente.

Respuesta al ejercicio 38

Se ha de cumplir la condición de Cauchy, es decir:
    \( \forall \varepsilon \in R^+ \exists \; N \quad | \quad \forall p, q \geq N \quad |r_p - r_q| < \varepsilon \)
Siendo p = N+1 ; q = N, y tenemos:
    \( \displaystyle \left| \frac{(-1)^{N+1}(N+2)}{N+1} - \frac{(-1)^N(N+1)}{N}\right| =\)
    \( \displaystyle = \left|(-1)^N \left\{ \frac{(N+2)}{(N+1)} + \frac{(N+1)}{N}\right\}\right| = \left| \frac{(N+2)}{(N+1)} + \frac{(N+1)}{N}\right| > 2 \)
Y vemos que no se cumple la condición de Cauchy, por lo que la sucesión dada no es convergente.
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tema escrito por: José Antonio Hervás