PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio32

Según la definición de sucesión de Cauchy, se debe cumplir:
    \( \forall \varepsilon \in Q^+ \exists \; N \quad | \quad \forall p, q \geq N \quad |r_p - r_q| < \varepsilon \)
Y tenemos:
    \( \displaystyle \left| \frac{2p+3}{2p+5} - \frac{2q+3}{2q+5}\right| = \left| \frac{2p+5-2}{2p+5} - \frac{2q+5-2}{2q+5}\right| = \left| \frac{-2}{2p+5} + \frac{2}{2q+5}\right| \)
Con lo que podemos hacer:
    \( \displaystyle \left| \frac{-2}{2p+5} + \frac{2}{2q+5}\right| \leq \left| \frac{-2}{2p+5}\right| + \left|\frac{2}{2q+5}\right| = \frac{2}{2p+5} + \frac{2}{2q+5} < \varepsilon \)
Y tomando uno de los sumandos:
    \( \displaystyle \frac{2}{2p+5} < \frac{2}{2p+2} < \frac{1}{p+1} < \frac{1}{p} < \varepsilon \rightarrow \frac{1}{\varepsilon} < p \)
Con lo que la referida desigualdad se cumple para todos los valores p, q mayores que \(1/ \varepsilon\)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás