PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio31

Se ha de cumplir:
    \( \displaystyle \forall \varepsilon \in Q^+ \exists \; p | \forall n \geq p \quad |r_n - r_0| < \varepsilon \; \rightarrow \left|\frac{2^{n+1} + 3^{n+1}}{2^n + 3^n} - 3\right| < \varepsilon\)
Y operando tenemos:
    \( \displaystyle \frac{2^{n+1} + 3^{n+1}}{2^n + 3^n} - 3 = \frac{- 2^n}{2^n + 3^n} \)
Tomando valores absolutos nos queda:
    \( \displaystyle \left| \frac{- 2^n}{2^n + 3^n}\right| < \varepsilon \; ; \; \left| \frac{1}{1 + (3/2)^n}\right| < \varepsilon \; ; \; 1 < \varepsilon + \varepsilon \left| \frac{3}{2}\right|^n \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle \frac{1 - \varepsilon}{\varepsilon} < \left( \frac{3}{2}\right)^n \; ; \; \log (1-\varepsilon) - \log \varepsilon < n (\log 3 - \log 2) \; ; \; n > \frac{\log (1-\varepsilon) - \log \varepsilon}{\log 3 - \log 2} \)
Por lo que si épsilon es mayor que 1, la expresión anterior se cumple para todo n natural.
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás