PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Ejercicios de análisis matemático


Comprobar que el límite de la sucesión:
    \( \displaystyle r_n = \frac{n + (-1)^n}{n - (-1)^n} \)
Es 1.

Respuesta al ejercicio 30

Se ha de cumplir:
    \( \forall \varepsilon \in Q^+ \exists \; p \quad | \quad \forall n \geq p \quad |r_n - r_0| < \varepsilon \)
Y tenemos:
    \( \displaystyle \left|\frac{n+(-1)^n}{n-(-1)^n} - 1\right| < \varepsilon \)
Operando:
    \( \displaystyle \frac{n+(-1)^n}{n-(-1)^n} - 1 = \frac{n+(-1)^n - n + (-1)^n}{n-(-1)^n} = \frac{2(-1)^n}{n-(-1)^n} \)
Tomando valores absolutos:
    \( \displaystyle \left| \frac{2(-1)^n}{n-(-1)^n}\right| < \varepsilon \; ; \; \left| \frac{2}{n-1}\right| < \varepsilon \; ; \; \frac{2}{\varepsilon} < n-1 \; ; \; \frac{2}{\varepsilon} + 1 < n \; (\ast) \)
De donde se desprende que para todo p mayor que (*) el valor de \(|r_n - 1|\) es menor que épsilon y por tanto la sucesión rn converge a 1.
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tema escrito por: José Antonio Hervás