PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio29

Para la primera parte del ejercicio tenemos:
    \( \displaystyle \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + иии + \frac{n-1}{n^2} = \frac{1+2+иии + (n-1)}{n^2} = \frac{(n-1)n}{2n^2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2n} \)
Y pasando al límite:
    \(\displaystyle \lim \limits _{n \rightarrow \infty} r_n = \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2n}\right) = \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{2}\right) - \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{2n}\right) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \)
Para la segunda parte del ejercicio tenemos que se ha de cumplir:
    \( \forall \varepsilon \in Q^+ \exists \; p \quad | \quad \forall n \geq p \quad |r_n - r_0| < \varepsilon \)
Y tenemos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \left|\frac{(n-1)n}{2n^2} - \frac{1}{2}\right| < 0,2 \; ; \\  \\ \; \left|\frac{(n-1)n-n^2}{2n^2}\right| = \left|\frac{-1}{2n}\right| < 0,2 \rightarrow n > \frac{1}{0,4} = 2,5 \end{array} \)
Y tenemos que la desigualdad se cumple para todo valor natural de n igual o superior a 3.
Haciendo las mismas deducciones que en el primer caso, tenemos:
    \(\displaystyle \left|\frac{1}{2n}\right| < 0,01 \rightarrow n > \frac{1}{0,02} = 50 \)
Y la desigualdad se cumple para todo n natural igual o superior a 50.
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ANÁLISIS MATEMÁTICO PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás