PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 28

Se dice que una función es continua en un punto cuando tiene límite en dicho punto y éste coincide con el valor que toma la función en él.
Así pues, vamos a determinar el límite de la función en (0,0). Para ello hacemos el cambio:
    \( \left.\begin{array}{c} x = \rho \cos \alpha \\ \\ y = \rho \sin \alpha \end{array}\right\}\;xy = \rho^2 \cos \alpha \sin \alpha \rightarrow f(x,y) = \phi(\rho , \alpha) = \sqrt{|\rho^2 \cos \alpha \sin \alpha|} \)
Y podemos hacer:
    \( \lim \limits _{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y) = \lim \limits _{\rho \rightarrow 0} \phi(\rho , \alpha) = \lim \limits _{\rho \rightarrow 0} \sqrt{|\rho^2 \cos \alpha \sin \alpha|} = \lim \limits _{\rho \rightarrow 0} |\rho| \sqrt{|\cos \alpha \sin \alpha|} = 0 \)
De esa forma tenemos:
    \( |f(x,y)| < \varepsilon \rightarrow |\sqrt{|xy|}| < \varepsilon \rightarrow \left||x|^{1/2}\right|\left||y|^{1/2}\right| < \varepsilon \)
De donde podemos hacer:
    \( \forall \; (x,y) :\left\{ \begin{array}{c} |x| < \delta \\ \\ |y| < \delta \end{array}\right. \) basta con tomar \(\delta = \varepsilon\)
De ahí se desprende que la función considerada es continua en (0,0) por coincidir el valor del límite con el valor que toma la función en dicho punto.
Las derivadas parciales en el punto (0,0) son:
    \( \displaystyle f'_x (x,y) = \lim \limits _{h \rightarrow 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} = \lim \limits _{h \rightarrow 0}\frac{f(0+h,0)}{h} = \lim \limits _{h \rightarrow 0} 0 = 0 \)

    \( \displaystyle f'_x (x,y) = \lim \limits _{k \rightarrow 0}\frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k} = \lim \limits _{k \rightarrow 0}\frac{f(0, 0+k)}{k} = \lim \limits _{k \rightarrow 0} 0 = 0 \)
Para que la función sea diferenciable, sus derivadas parciales tienen que ser continuas en el punto (0,0). Vemos primero si la función derivada respecto de x es continua:
    \( \displaystyle \lim f'_x (x,y) = \lim \frac{|y|}{2\sqrt{|xy|}} \)
Tomando el límite sobre la dirección y = mx, hacemos:
    \( \displaystyle \lim \limits _{(x,y)\rightarrow (0,0)} \frac{|y|}{2\sqrt{|xy|}} = \lim \limits _{\begin{array}{l}
    x\rightarrow 0 \\
    y\rightarrow mx
    \end{array}} \frac{|mx|}{2\sqrt{|mx^2|}} = \frac{|m|}{2\sqrt{|m|}} \)
Es decir, que la función derivada no tiene límite en el origen y, por tanto, no es continua. De ahí se desprende también que la función inicial, f(x, y), no es diferenciable en el punto (0,0).
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tema escrito por: José Antonio Hervás