PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 23

En general, la diferencial total de primer orden para una función compuesta viene dado por una expresión de la forma:
    \( du = f_s^\prime ds + f_v^\prime dv + f_w^\prime dw \)
Sin importar que las variables sean independientes.
Para la diferencial total de segundo orden no se mantiene la invariabilidad de la diferencial respecto a distintas variables, por lo que se tiene:
    \( d^2 u = f_{ss}^{\prime \prime}(ds)^2 + f_s^\primed^2s + 2f_{sv}^{\prime \prime}dsdv + 2f_{sw}^{\prime \prime}dsdw + \)

    \( +f_{vv}^{\prime \prime}(dv)^2 + f_v^\primed^2v + 2f_{vw}^{\prime \prime}dvdw + f_{ww}^{\prime \prime}(dw)^2 + f_w^\primed^2w \)
Aplicando, por tanto, la fórmula general a nuestro caso, tendremos para la diferencial total de primer orden:
    \( du = f_\xi^\prime (2xdx + 2ydy) + f_\eta^\prime(2xdx - 2ydy) + f_\zeta^\prime (2ydx + 2xdy) \)
Y para la diferencial total de segundo orden:
    \( d^2u = f_{\xi \xi}^{\prime \prime}(2x dx + 2y dy)^2 + f_\xi^\prime (2d^2x + 2d^2y) + 2 f_{\xi \eta}^{\prime \prime}(2x dx + 2y dy)(2x dx - 2y dy) \)

    \(2 f_{\xi \zeta}^{\prime \prime}(2x dx + 2y dy)(2y dx + 2x dy) + f_{\eta \eta}^{\prime \prime}(2xdx - 2ydy)^2 + f_\eta^\prime (2d^2x - 2d^2y) \)

    \( 2 f_{\eta \zeta}^{\prime \prime}(2x dx - 2y dy)(2y dx + 2x dy) + f_{\zeta \zeta}^{\prime \prime}(2ydx + 2xdy)^2 + f_\zeta^\prime (2dxdy - 2dydx) \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás