PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de análisis matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Demostrar que si la función u vale:
    \( u = (x-y)(y-z)(z-x) \)
Entonces se tiene:
    \( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z} = 0 \)
Respuesta al ejercicio 20

El cáculo de las derivadas primeras respecto a cada una de las variables nos da:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial u}{\partial x} = (y-z)(z-x)-(x-y)(y-z) = y^2-z^2-2xy+2xz \\
    \\
    \frac{\partial u}{\partial y} = -(y-z)(z-x)+(x-y)(z-x) = z^2 - x^2 - 2yz + 2xy \\
    \\
    \frac{\partial u}{\partial z} = -(x-y)(z-x)+(x-y)(y-z) = x^2 - y^2 - 2xz + 2yz
    \end{array} \)
Y sumando las tres expresiones:
    \( \begin{array}{l} (y^2-z^2-2xy+2xz)+(z^2-x^2-2yz+2xy)+ \\  \\ + (x^2-y^2-2xz+2yz) = 0 \end{array}\)
Que es lo que teníamos que demostrar
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tema escrito por: José Antonio Hervás