PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Demostrar que cualesquiera que sean φ y ψ (funciones diferenciales dos veces), la función definida en la forma:
    \( h = \varphi(x-\alpha t) + \psi(x + \alpha t) \)
Verifica la relación:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = a^2\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} \)
Respuesta al ejercicio 19

Vamos a considerar que se tiene:
    \( x-at = v \quad ; \quad x+at = u \)
con lo que podemos poner:
    \( h = \varphi(x-at) + \psi(x+at) = \varphi(v) + \psi(u) \)
Derivando como función de función tenemos:
    \( \displaystyle \frac{\partial h}{\partial t} = \varphi^\prime(v)v'_t + \psi^\prime(u)u'_t = \varphi^\prime(v)(-a) + \psi^\prime(u)a \)

    \(\displaystyle \frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = -a \varphi^{\prime \prime}(v)v'_t + a\psi^{\prime \prime}(u)u'_t = a^2 [\varphi^{\prime \prime}(v) + \psi^{\prime \prime}(u)] \)
Y derivando respecto de x, tenemos:
    \( \displaystyle \frac{\partial h}{\partial x} = \varphi^\prime(v)v'_x + \psi^\prime(u)u'_x = \varphi^\prime(v) + \psi^\prime(u) \)

    \(\displaystyle \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = \varphi^{\prime \prime}(v)v'_x + \psi^{\prime \prime}(u)u'_x = \varphi^{\prime \prime}(v) + \psi^{\prime \prime}(u) \)
Si multiplicamos esta última expresión por a², obtenemos
    \( \displaystyle a^2 \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = a^2 [\varphi^{\prime \prime}(v) + \psi^{\prime \prime}(u)] = \frac{\partial^2 h}{\partial t^2} \)
Que es la relación a la que queríamos llegar.
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tema escrito por: José Antonio Hervás