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ejercicios resueltos de análisis matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Sea la función definida en la forma
    \( u(x, y) = x·\ln (x+r)-r \quad ; \quad \textrm{con } r = \sqrt{x^2+y^2} \)
Demostrar que se verifica:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{1}{x+r} \)
Respuesta al ejercicio 18

Obtenemos las derivadas de primer orden
    \( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r}·\frac{\partial r}{\partial x} = \ln (x+r) + x\frac{1+r'_x}{x+r} - r'_x = \)

    \( \displaystyle = \ln (x+r) + \frac{x}{x+r} \left(1+\frac{x}{r}\right) - \frac{x}{r} = \ln (x+r)\)
Y análogamente:
    \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial r}·\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{xr'_y}{x+r} - r'_y = \frac{x}{x+r}\frac{y}{r} - \frac{y}{r} = - \frac{y}{x+r} \)
A continuación calculamos las derivadas de segundo orden no mixtas:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) = \frac{\partial }{\partial x}\left[\ln(x+r)\right] = \frac{1}{x+r}(1+r'_x)=\frac{1}{r} \)
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right) = \frac{\partial }{\partial y}\left[-\frac{y}{x+r}\right] = \frac{x+r-yr'_x}{(x+r)^2}= - \frac{(x+r)r - y^2}{r(x+r)^2} \)
Y sumando las dos expresiones obtenidas:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = =\frac{1}{r} - \frac{(x+r)r - y^2}{r(x+r)^2} = \frac{(x+r)^2 - (x+r)r y^2}{r(x+r)^2} = \frac{1}{x+r} \)
Como queríamos demostrar.
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tema escrito por: José Antonio Hervás