PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 17

Calculamos primero las derivadas parciales de primer orden:
    \( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial r}·\frac{\partial r}{\partial x} = - \frac{1}{r^2}·2x·\left(x^2+y^2+z^2 \right)^{-1/2} = - \frac{x}{r^3}\)
Y por la simetría de la función:
    \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial r}·\frac{\partial r}{\partial y} = - \frac{y}{r^3} \quad ; \quad \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial u}{\partial r}·\frac{\partial r}{\partial z} = - \frac{z}{r^3} \)
A continuación calculamos las derivadas de segundo orden no mixtas:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(- \frac{x}{r^3}\right) = - \frac{r^3 - 3r^2·r'_x·x}{r^6} \)
Sustituyendo el valor de \( r'_x \) nos queda finalmente:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = - \frac{r^2 - 3x^2}{r^5} \)
Y por semejanza con la función anterior:
    \(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = - \frac{r^2 - 3y^2}{r^5} \quad ; \quad \frac{\partial^2 u}{\partial yz2} = - \frac{r^2 - 3z^2}{r^5}\)
Sumando las tres expresiones finales tenemos:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}= - \frac{3r^2 - 3(x^2 + y^2 + z^2)}{r^5} = - \frac{3r^2 - 3r^2}{r^5} = 0 \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás