PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 15
El primero de los límites vamos a obtenerlo por dos procedimientos. Tomando coordenadas polares:
    \( \displaystyle \lim \limits _{\begin{array}{l}
    x\rightarrow \infty \\
    y\rightarrow \infty
    \end{array}
    } \left( \frac{x y}{x^2+y^2} \right)^{x^2} = \lim \limits _{\rho \rightarrow \infty} \left(\frac{\rho^2 \sin \varphi · \cos \varphi}{\rho^2 (\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi )}\right)^{\rho^2 \cos^2 \varphi} = \)

    \( = \lim \limits _{\rho \rightarrow \infty} \left(\sin \varphi \cos \varphi\right)^{\rho^2 \cos^2 \varphi} = 0 \)
Puesto que \( = \left(\sin \varphi \cos \varphi\right) \) siempre se conserva menor que 1 en valor absoluto.

Eligiendo una función lineal y = mx podemos poner:
    \( \displaystyle \lim \limits _{\begin{array}{l}
    x\rightarrow \infty \\
    y\rightarrow \infty
    \end{array}
    } \left( \frac{x y}{x^2+y^2} \right)^{x^2} = \lim \limits _{x \rightarrow \infty }\left( \frac{mx^2}{x^2+m^2x^2} \right)^{x^2} = \lim \limits _{x \rightarrow \infty }\left( \frac{m}{1+m^2} \right)^{x^2} = 0 \)
Y el límite es 0 porque la última expresión entre paréntesis se conserva menor que 1 en valor absoluto para cualquier m.

Antes de calcular el segundo límite, transformamos la función como sigue:
    \( \displaystyle \left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x^2}{(x+y)}} = \left[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x \right]^{\frac{x^2}{(x+y)} : x} = \left[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x \right]^{\frac{x}{(x+y)}} \)
Con lo que podemos poner:
    \( \displaystyle \lim \limits _{\begin{array}{l} x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow a \end{array}} \left(1+\frac{1}{x} \right) ^{\frac{x^2}{x+y}} = \lim \limits _{\begin{array}{l} x\rightarrow \infty \\ y\rightarrow a \end{array}} \left[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x \right]^{\frac{x}{(x+y)}} = \lim \limits _{\begin{array}{l} x\rightarrow \infty \\ y\rightarrow a \end{array}} \left[ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x \right]^{\underset{x \rightarrow \infty }{Lim} \textstyle \frac{x}{x+y}} = e\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás