Ejercicios de análisis matemático
Calcular los siguientes límites dobles:
\( \displaystyle \lim \limits _{\begin{array}{l}
x\rightarrow 0 \\
y\rightarrow a
\end{array}
} \frac{\sin xy}{x} \qquad ; \qquad \lim \limits _{\begin{array}{l}
x\rightarrow \infty \\
y\rightarrow \infty
\end{array}
} \left(x^2+y^2\right)·e^{-(x+y)}\)
Respuesta al ejercicio 14
Para el primero de los límites, aplicando la regla de L’Hopital
, derivando respecto a x, se tiene:
\( \displaystyle \lim \limits _{\begin{array}{l} x\rightarrow
0 \\ y\rightarrow a \end{array} } \frac{\sin x·y}{x}
= \lim \limits _{\begin{array}{l} x\rightarrow 0 \\ y\rightarrow
a \end{array} } \frac{y· \cos x·y}{1} = \lim \limits
_{\begin{array}{l} x\rightarrow 0 \\ y\rightarrow a \end{array}
} y·(\cos x·y) = a·1 = a \)
Para el segundo de los límites, aplicando dos veces la
regla de L’Hopital, derivando, por ejemplo, respecto a x,
resulta:
\( \displaystyle \lim \limits _{\begin{array}{l} x\rightarrow
\infty \\ y\rightarrow \infty \end{array} } \frac{x^2+y^2}{e^{(x+y)}}
= \lim \limits _{\begin{array}{l} x\rightarrow \infty \\ y\rightarrow
\infty \end{array} } \frac{2x}{e^{(x+y)}} = \lim \limits _{\begin{array}{l}
x\rightarrow \infty \\ y\rightarrow \infty \end{array} } \frac{2}{e^{(x+y)}}
= 0 \)