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Ejercicios de análisis matemático

Calcular los siguientes límites dobles:
    \( \displaystyle \lim \limits _{\begin{array}{l}
    x\rightarrow 0 \\
    y\rightarrow a
    \end{array}
    } \frac{\sin xy}{x} \qquad ; \qquad \lim \limits _{\begin{array}{l}
    x\rightarrow \infty \\
    y\rightarrow \infty
    \end{array}
    } \left(x^2+y^2\right)·e^{-(x+y)}\)
Respuesta al ejercicio 14

Para el primero de los límites, aplicando la regla de L’Hopital , derivando respecto a x, se tiene:
    \( \displaystyle \lim \limits _{\begin{array}{l} x\rightarrow 0 \\ y\rightarrow a \end{array} } \frac{\sin x·y}{x} = \lim \limits _{\begin{array}{l} x\rightarrow 0 \\ y\rightarrow a \end{array} } \frac{y· \cos x·y}{1} = \lim \limits _{\begin{array}{l} x\rightarrow 0 \\ y\rightarrow a \end{array} } y·(\cos x·y) = a·1 = a \)
Para el segundo de los límites, aplicando dos veces la regla de L’Hopital, derivando, por ejemplo, respecto a x, resulta:
    \( \displaystyle \lim \limits _{\begin{array}{l} x\rightarrow \infty \\ y\rightarrow \infty \end{array} } \frac{x^2+y^2}{e^{(x+y)}} = \lim \limits _{\begin{array}{l} x\rightarrow \infty \\ y\rightarrow \infty \end{array} } \frac{2x}{e^{(x+y)}} = \lim \limits _{\begin{array}{l} x\rightarrow \infty \\ y\rightarrow \infty \end{array} } \frac{2}{e^{(x+y)}} = 0 \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás