PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 12
Los límites reiterados son:
    \(\displaystyle \lim \limits _{x \rightarrow 0} \left\{ \lim \limits _{y \rightarrow 0} \frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}\right\} = \lim \{ 0 \} = 0 \)
    \(\displaystyle \lim \limits _{y \rightarrow 0} \left\{ \lim \limits _{x \rightarrow 0} \frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}\right\} = \lim \{ 0 \} = 0 \)
Los límites reiterados no son indeterminados en ninguna ocasión, pues en ambos casos nos queda una expresión de la forma:
    \( \displaystyle \lim \left\{ \frac{0}{0+a}\right\} \)
Donde a = x² ó a = y² según el caso.
Para determinar el limite doble definimos una función lineal y = mx que pase por el punto (0, 0). Tenemos:
    \( \displaystyle \lim \limits _{x \rightarrow 0} \left\{ \frac{x^2·m^2x^2}{x^2·m^2x^2 + (x-m x)^2}\right\} = \lim \limits _{x \rightarrow 0} \left\{ \frac{m^2x^2}{m^2x^2 + (1-m)^2}\right\} = \frac{0}{(1-m)^2} \)
Cuando m es distinto de 1, el límite vale 0; cuando m = 1 el límite es indeterminado de la forma 0/0; por lo tanto, no existe el límite doble.
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tema escrito por: José Antonio Hervás