PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 8
Para probar que v es norma tenemos que demostrar que se cumple :
    \( v(f) = 0 \Leftrightarrow f = 0 \quad ; \quad v(f+g) \leq v(f) + v(g) \; ; \; v(\lambda·f) = |\lambda|·v(f) \)
Y según hemos definido v tenemos :
    \( \displaystyle v(f) = \int \limits _a ^b |f(t)|dt \qquad \textrm{Si} \; f = 0 \Rightarrow \int \limits _a ^b |f(t)|dt = 0 \; \forall \; t \Rightarrow v(f) = 0 \; ; \)

    \( \displaystyle v(f+g) = \int \limits _a ^b |(f+g)(t)|dt = \int \limits _a ^b |f(t)+g(t)|dt \leq \int \limits _a ^b [|f(t)|+|g(t)|]dt = \)

    \( \displaystyle = \int \limits _a ^b |f(t)|dt + \int \limits _a ^b |g(t)|dt \quad \Rightarrow \quad v(f+g) \leq v(f) + v(g) \)

    \( \displaystyle v(\lambda·f) = \int \limits _a ^b |\lambda· f(t)|dt = \int \limits _a ^b |\lambda|·| f(t)|dt = |\lambda|· \int \limits _a ^b |f(t)|dt = |\lambda|·v(f) \)
por lo que hemos demostrado que v es una norma sobre el conjunto de las funciones continuas en [a,b] incluido en R.
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tema escrito por: José Antonio Hervás