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ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Sean {un} y {vn} sucesiones en R y \(\sum a_n\) una serie convergente de términos positivos. Si es :
    \( \displaystyle L(u) = \sum _n a_n \frac{|u_n|}{1 + |u_n|} \quad ; \quad L(v) = \sum _n a_n \frac{|v_n|}{1 + |v_n|} \)
Probar que se verifica :
L(u + v) ≤ L(u) + L(v)
Respuesta al ejercicio 7
Hemos visto en otro problema que para dos números reales positivos se cumple :
    \( \displaystyle \frac{a+b}{1+a+b} \leq \frac{a}{1+a}+ \frac{b}{1+b} \)
Según eso tenemos :
    \( \displaystyle \frac{|u_n + v_n|}{1+|u_n + v_n|} \leq \frac{|u_n|}{1+|u_n|}+ \frac{|v_n|}{1+|v_n|} \)
y multiplicando todos los términos de la desigualdad por \( \displaystyle \sum_n a_n\) nos queda :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \sum_n a_n \frac{|u_n + v_n|}{1+|u_n + v_n|} \leq \sum_n a_n \frac{|u_n|}{1+|u_n|}+ \sum_n a_n \frac{|v_n|}{1+|v_n|} \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow L(u+v) \leq L(u) + L(v) \end{array}\)
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tema escrito por: José Antonio Hervás