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Sea f integrable sobre a x b ; se define :



Demostrar que se cumple :

L(f + g) L(f) + L(g)

¿Se puede definir a partir de L una distancia?

Respuesta 6

Sustituyendo f por f+g en la definición podemos poner :



Sabemos que y, por otro lado, la función x/(1+x) es creciente. De ese modo, tendremos :



Si tenemos en cuenta el resultado :



Tendremos finalmente :



Para ver si podemos definir a partir de L una distancia, comprobamos si L es una norma. Se ha de cumplir :



Podemos comprobar sin dificultad que las dos primeras propiedades si se cumplen. Para la tercera se tiene :



Y puesto que no se cumple la tercera propiedad, L no será una norma y no podemos definir a partir de ella una distancia.