PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 6
Sustituyendo f por f+g en la definición podemos poner :
    \( \displaystyle L(f+g) = \int \limits _a^b \frac{|(f+g)(x)|}{1+ |(f+g)(x)|}·dx = \int \limits _a^b \frac{|f(x)+g(x)|}{1+ |f(x)+g(x)|}·dx \)
Sabemos que \(|f+g| \leq |f|+|g|\) y, por otro lado, la función x/(1+x) es creciente. De ese modo, tendremos :
    \(\displaystyle \int \limits _a^b \frac{|f(x)+g(x)|}{1+ |f(x)+g(x)|}·dx \leq \int \limits _a^b \frac{|f(x)|+g|(x)|}{1+ |f(x)+g(x)|}·dx = \)

    \(\displaystyle = \int \limits _a^b \frac{|f(x)|}{1+ |f(x)+g(x)|}·dx + \int \limits _a^b \frac{g|(x)|}{1+ |f(x)+g(x)|}·dx \)
Si tenemos en cuenta el resultado visto en otro ejercicio:
    \( \displaystyle \frac{|f(x)|}{1+ |f(x)|+|g(x)|} \leq \frac{|f(x)|}{1+ |f(x)|} \)
Tendremos finalmente :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int \limits _a^b \frac{|f(x)+g(x)|}{1+ |f(x)+g(x)|}dx \leq \\  \\ \leq \int \limits _a^b \frac{|f(x)|}{1+ |f(x)|}dx + \int \limits _a^b \frac{|g(x)|}{1+ |g(x)|}dx = L(f) + L(g) \end{array}\)
Para ver si podemos definir a partir de L una distancia, comprobamos si L es una norma. Se ha de cumplir :
    \( \begin{array}{l}
    L(f) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad f = 0 \quad ; \quad L(f+g) \leq L(f) + L(g) \quad ; \\
     \\
    \quad L(\lambda·f) = |\lambda|·L(f)
    \end{array}\)
Puede comprobarse sin dificultad que las dos primeras propiedades si se cumplen. Para la tercera se tiene :
    \( \displaystyle L(\lambdaf) = \int \limits _a^b \frac{|\lambdaf(x)|}{1+ |\lambdaf(x)|}dx = \int \limits _a^b \frac{|\lambda||f(x)|}{1+ |\lambda||f(x)|}dx \neq \)

    \( \displaystyle \neq |\lambda| \int \limits _a^b \frac{|f(x)|}{1+ |f(x)|}dx = |\lambda| L(f)\)
Y puesto que no se cumple la tercera propiedad, L no será una norma y no podemos definir a partir de ella una distancia.
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tema escrito por: José Antonio Hervás