Sea
f integrable sobre a 
x b ;
se define :
Demostrar que se cumple :
Sabemos que
y, por otro lado, la función x/(1+x) es creciente. De ese modo,
tendremos :
Si tenemos en cuenta el resultado :
Tendremos finalmente :
Para ver si podemos definir a partir de L una distancia, comprobamos si L es una norma. Se ha de cumplir :
Podemos comprobar sin dificultad que las dos primeras propiedades si se cumplen. Para la tercera se tiene :
Y puesto que no se cumple la tercera propiedad, L no será una norma y no podemos definir a partir de ella una distancia.
x b ;
se define :Demostrar que se cumple :
L(f + g)¿Se puede definir a partir de L una distancia?
Respuesta 6Sustituyendo f por f+g en la definición podemos poner :
Sabemos que
y, por otro lado, la función x/(1+x) es creciente. De ese modo,
tendremos :Si tenemos en cuenta el resultado :
Tendremos finalmente :
Para ver si podemos definir a partir de L una distancia, comprobamos si L es una norma. Se ha de cumplir :
Podemos comprobar sin dificultad que las dos primeras propiedades si se cumplen. Para la tercera se tiene :
Y puesto que no se cumple la tercera propiedad, L no será una norma y no podemos definir a partir de ella una distancia.