PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de análisis matemático

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Problemas de Analisis Matemático

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Ejercicios de análisis matemático

Respuesta al ejercicio 1
Los axiomas básicos para la definición de una métrica establecen :
    \(\begin{array}{l} 1) \quad Si \; d(x, y) = 0 \Rightarrow x = y \; ; \; 2) \; d(x, y) = d(y, x) \; ; \\  \\ 3) \; d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) \end{array}\)
Los dos primeros axiomas son evidentes en ambos casos considerando la definición de valor absoluto de un número.
Para el tercer axioma tenemos :
    \(\begin{array}{l} d_1(x, z) = |x-z| = |(x-y)+(y-z)|\leq \\  \\ \leq |x-y|+|y-z|=d_1(x, y) + d_1(y, z) \end{array} \)
y de igual forma :
    \( d_2(x, z) = |\tan x-\tan z| = |(\tan x-\tan y)+(\tan y-\tan z)|\leq \)

    \( |\tan x-\tan y|+|\tan y-\tan z|=d_2(\tan x, \tan y) + d_2(\tan y, \tan z) \)
donde hemos aplicado la desigualdad triangular verificada por los números reales.
Decir que E es completo para una métrica es decir que toda sucesión de Cauchy será convergente en E para dicha métrica. En el caso de la métrica d2 y siendo {xn} una sucesión de Cauchy en E, se tiene :
    \( d_2(x_n, x_m) = |\tan x_n - \tan x_m|\leq \varepsilon \)
Debemos ver entonces que se cumple :
    \( \exists \;x \in E \quad | \quad x = \lim x_n \)
Considerando la sucesión de Cauchy \(\{y_n\} = \{ \tan x_n\} \) en R, esta será convergente, puesto que R es completo. Por lo tanto, podemos poner :
    \(\exists \; y \in R \quad | \quad y = \lim y_n = \lim \tan x_n \)
Como, por otro lado, se tiene que :
    \( \exists \;x \in E = (- \pi/2 , +\pi/2) \quad | \quad \tan x = y \)
podemos poner :
    \( \exists \; x \in E \quad | \quad \tan x = \lim y_n = \lim \tan x_n \)
Se tiene, por tanto, que E es completo para la métrica d2.
Veamos ahora si ocurre igual para la métrica d1. Sea la sucesión :
    \( \displaystyle x_n = \frac{\pi · n -1}{2n}\)
dicha sucesión es de Cauchy pues se tiene :
    \( \displaystyle \left|\frac{\pi · p-1}{2p} - \frac{\pi · q-1}{2q}\right| = \left|\frac{1}{q} - \frac{1}{p}\right| \leq \left|\frac{1}{q}\right| + \left| \frac{1}{p}\right| \leq \varepsilon \)
Pero dicha sucesión no es convergente en E puesto que su límite vale :
    \( \lim x_n = \lim \displaystyle x_n = \frac{\pi · n -1}{2n} = \frac{\pi}{2} \)
y como \(\pi / 2 \not \in \) E, este no será completo para la métrica d1
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tema escrito por: José Antonio Hervás