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Ejercicios problemas resueltos de Análisis matemático y Topología
 
En el conjunto E = (-ejercicios resueltos de análisis matemático /2 , +ejercicios resueltos de análisis matemático /2) se definen las aplicaciones :

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Comprobar que d1 y d2 son métricas definidas en E y que E es completo para d2 pero no lo es para d1.
Respuesta 1
Los axiomas básicos para la definición de una métrica establecen :

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Los dos primeros axiomas son evidentes en ambos casos considerando la definición de valor absoluto de un número.
Para el tercer axioma tenemos :

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y de igual forma :

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donde hemos aplicado la desigualdad triangular verificada por los números reales.
Decir que E es completo para una métrica es decir que toda sucesión de Cauchy será convergente en E para dicha métrica. En el caso de la métrica d2 y siendo {xn} una sucesión de Cauchy en E, se tiene :

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Debemos ver entonces que se cumple :

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Considerando la sucesión de Cauchy {yn} = {tg xn} en R, esta será convergente, puesto que R es completo. Por lo tanto, podemos poner :

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Como, por otro lado, se tiene que :

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podemos poner :

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Se tiene, por tanto, que E es completo para la métrica d2.
Veamos ahora si ocurre igual para la métrica d1. Sea la sucesión :

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dicha sucesión es de Cauchy pues se tiene :

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Pero dicha sucesión no es convergente en E puesto que su límite vale :

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y como ejercicios resueltos de análisis matemático/2 no pertenece a E, este no será completo para la métrica d1
 
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PROBLEMAS y EJERCICIOS RESUELTOS de ANÁLISIS MATEMÁTICO

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