Problemas y ejercicios resueltos de Análisis Matemático. Ejercicio número uno

En el conjunto E = (-

/2 , +

/2) se definen las aplicaciones :

Comprobar que d₁ y d₂ son métricas definidas en E y que E es completo para d₂ pero no lo es para d₁.

Respuesta 1

Los axiomas básicos para la definición de una métrica establecen :

Los dos primeros axiomas son evidentes en ambos casos considerando la definición de valor absoluto de un número.
Para el tercer axioma tenemos :

y de igual forma :

donde hemos aplicado la desigualdad triangular verificada por los números reales.
Decir que E es completo para una métrica es decir que toda sucesión de Cauchy será convergente en E para dicha métrica. En el caso de la métrica d₂ y siendo {x_n} una sucesión de Cauchy en E, se tiene :

Debemos ver entonces que se cumple :

Considerando la sucesión de Cauchy {y_n} = {tg x_n} en R, esta será convergente, puesto que R es completo. Por lo tanto, podemos poner :

Como, por otro lado, se tiene que :

podemos poner :

Se tiene, por tanto, que E es completo para la métrica d₂.
Veamos ahora si ocurre igual para la métrica d₁. Sea la sucesión :

dicha sucesión es de Cauchy pues se tiene :

Pero dicha sucesión no es convergente en E puesto que su límite vale :

y como

/2 no pertenece a E, este no será completo para la métrica d₁

problema 01	problema 02	problema 03	problema 04	problema 05	problema 06	problema 07	problema 08	problema 09	problema 10
problema 11	problema 12	problema 13	problema 14	problema 15	problema 16	problema 17	problema 18	problema 19	problema 20
problema 21	problema 22	problema 23	problema 24	problema 25	problema 26	problema 27	problema 28	problema 29	problema 30
problema 31	problema 32	problema 33	problema 34	problema 35	problema 36	problema 37	problema 38	problema 39	problema 40
problema 41	problema 42	problema 43	problema 44	problema 45	problema 46	problema 47	problema 48	problema 49	problema 50