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el conjunto E = (-
Comprobar que d1 y d2 son métricas definidas en E y que E es completo para d2 pero no lo es para d1. Respuesta 1Los axiomas básicos para la definición de una métrica establecen : Los dos primeros axiomas son evidentes en ambos casos considerando la definición de valor absoluto de un número. Para el tercer axioma tenemos : y de igual forma : donde hemos aplicado la desigualdad triangular verificada por los números reales. Decir que E es completo para una métrica es decir que toda sucesión de Cauchy será convergente en E para dicha métrica. En el caso de la métrica d2 y siendo {xn} una sucesión de Cauchy en E, se tiene : Debemos ver entonces que se cumple : Considerando la sucesión de Cauchy {yn} = {tg xn} en R, esta será convergente, puesto que R es completo. Por lo tanto, podemos poner : Como, por otro lado, se tiene que : podemos poner : Se tiene, por tanto, que E es completo para la métrica d2. Veamos ahora si ocurre igual para la métrica d1. Sea la sucesión : dicha sucesión es de Cauchy pues se tiene : Pero dicha sucesión no es convergente en E puesto que su límite vale : y como |
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CURIOSEA EN NUESTRA SECCIÓN DE REGALOS Y DETALLES |
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