Ejercicios de análisis matemático - Respuesta 1

Los axiomas básicos para la definición de una métrica establecen :



Los dos primeros axiomas son evidentes en ambos casos considerando la definición de valor absoluto de un número.
Para el tercer axioma tenemos :



y de igual forma :



donde hemos aplicado la desigualdad triangular verificada por los números reales.
Decir que E es completo para una métrica es decir que toda sucesión de Cauchy será convergente en E para dicha métrica. En el caso de la métrica d₂ y siendo {x_n} una sucesión de Cauchy en E, se tiene :



Debemos ver entonces que se cumple :



Considerando la sucesión de Cauchy {y_n} = {tg x_n} en R, esta será convergente, puesto que R es completo. Por lo tanto, podemos poner :



Como, por otro lado, se tiene que :



podemos poner :



Se tiene, por tanto, que E es completo para la métrica d₂.
Veamos ahora si ocurre igual para la métrica d₁. Sea la sucesión :



dicha sucesión es de Cauchy pues se tiene :



Pero dicha sucesión no es convergente en E puesto que su límite vale :



y como π /2 no pertenece a E, este no será completo para la métrica d₁