En
el conjunto E = (-
/2 , +
/2) se definen las aplicaciones :
Comprobar que d1 y d2 son métricas
definidas en E y que E es completo para d2 pero no
lo es para d1.
Respuesta 1
Los axiomas básicos para la definición de una
métrica establecen :
Los dos primeros axiomas son evidentes en ambos casos considerando
la definición de valor absoluto de un número.
Para el tercer axioma tenemos :
y de igual forma :
donde hemos aplicado la desigualdad triangular verificada por
los números reales.
Decir que E es completo para una métrica es decir que
toda sucesión de Cauchy será convergente en E
para dicha métrica. En el caso de la métrica d2
y siendo {xn} una sucesión de Cauchy en E,
se tiene :
Debemos ver entonces que se cumple :
Considerando la sucesión de Cauchy {yn} =
{tg xn} en R, esta será convergente, puesto
que R es completo. Por lo tanto, podemos poner :
Como, por otro lado, se tiene que :
podemos poner :
Se tiene, por tanto, que E es completo para la métrica
d2.
Veamos ahora si ocurre igual para la métrica d1.
Sea la sucesión :
dicha sucesión es de Cauchy pues se tiene :
Pero dicha sucesión no es convergente en E puesto que
su límite vale :
y como /2
no pertenece a E, este no será completo para la métrica
d1
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