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EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO
EJERCICIOS RESUELTOS DE TOPOLOGÍA
 
Ejercicios de análisis matemático - enunciado 11

Dada la función f(x, y) = (x – y)/(x + y) calcular los límites reiterados y ver si existe Lím f(x, y) cuando x e y tienden a cero simultáneamente.
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 12

Demostrar que para la función:
    \( \displaystyle f(x, y) = \frac{x^2y^2}{x^2y^2 + (x-y)^2}\)
Se tiene:
    \( \lim \limits_{x\rightarrow 0}\left\{\lim \limits_{y\rightarrow 0} f(x,y)\right\} = \lim \limits_{y\rightarrow 0}\left\{\lim \limits_{x\rightarrow 0} f(x,y)\right\} \)
A pesar de que Lim f(x, y) no existe.
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 13

Calcular los siguientes límites dobles:
    \( \displaystyle \lim \limits _{\begin{array}{l} x\rightarrow \infty \\ y\rightarrow \infty \end{array} } \frac{x+y}{x^2-xy+y^2} \qquad ; \qquad \lim \limits _{\begin{array}{l} x\rightarrow \infty \\ y\rightarrow \infty \end{array} } \frac{x^2+y^2}{x^4+y^4} \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 14

Calcular los siguientes límites dobles:
    \( \displaystyle \lim \limits _{\begin{array}{l}
    x\rightarrow 0 \\
    y\rightarrow a
    \end{array}
    } \frac{\sin xy}{x} \qquad ; \qquad \lim \limits _{\begin{array}{l}
    x\rightarrow \infty \\
    y\rightarrow \infty
    \end{array}
    } \left(x^2+y^2\right)·e^{-(x+y)}\)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 15

Calcular los siguientes límites dobles:
    \( \displaystyle \lim \limits _{\begin{array}{l}
    x\rightarrow \infty \\
    y\rightarrow \infty
    \end{array}
    } \left( \frac{x y}{x^2+y^2} \right)^{x^2} \qquad ; \qquad \lim \limits _{\begin{array}{l}
    x\rightarrow \infty \\
    y\rightarrow a
    \end{array}}
    \left(1+\frac{1}{x} \right) ^{\frac{x^2}{x+y}} \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 16

Calcular los siguientes límites dobles:
    \( \displaystyle \lim \limits _{\begin{array}{l}
    x\rightarrow 0 \\
    y\rightarrow 0
    \end{array}
    } \left(x^2+y^2\right)\ln \left(x^2+y^2\right)\qquad ; \qquad \lim \limits _{\begin{array}{l} x\rightarrow 1 \\ y\rightarrow 0 \end{array} } \frac{\ln (x+e^y)}{\sqrt{x^2+y^2}} \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 17

Dada la función:
    \(u(x, y, z) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \)
Demostrar que se tiene:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 18

Sea la función definida en la forma
    \( u(x, y) = x·\ln (x+r)-r \quad ; \quad \textrm{con } r = \sqrt{x^2+y^2} \)
Demostrar que se verifica:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{1}{x+r} \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 19

Demostrar que cualesquiera que sean φ y ψ (funciones diferenciales dos veces), la función definida en la forma:
    \( h = \varphi(x-\alpha t) + \psi(x + \alpha t) \)
Verifica la relación:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = a^2\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} \)
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Ejercicios de análisis matemático - enunciado 20

Demostrar que si la función u vale:
    \( u = (x-y)(y-z)(z-x) \)
Entonces se tiene:
    \( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z} = 0 \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás