PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Demostrar que para una ley de composición interna asociativa se cumple que el elemento inverso por la izquierda de uno dado también lo es por la derecha; que el elemento neutro lo es por la izquierda y por la derecha; que cada elemento tiene sólo un iverso y que el inverso del inverso de un elemento dado es dicho elemento.

Respuesta al ejercicio 49

Sea \(a \) un elemento, \(a\,' \) su inverso por la izquierda y e el elemento neutro; si \( a" \) es el inverso de \( a\,' \) por la izquierda, podemos hacer:
    \( \begin{array}{l} e = a" \otimes \; a\,' = a" \otimes \, (e \otimes a\,') = a" \otimes (a\,' \otimes a) \otimes a\,' =\\ \\ (a" \otimes \; a\,') \otimes a \otimes a \,' = e \otimes a \otimes \; a \,' = a \otimes a \,' \end{array}\)
Y hemos demostrado que el elemento inverso por la izquierda de uno dado también lo es por la derecha.

Operamos ahora con el elemento neutro del conjunto:
    \(a = e \otimes a = (a \otimes a') \otimes a = a \otimes ( a' \otimes a ) = a \otimes e \)
Y queda demostrado que el neutro lo es por la izquierda y por la derecha.

Para la tercera parte del ejercicio, suponemos que \( a \) tiene dos inversos, respectivamente, \( a' \) y \( a" \) ; tenemos:
    \(a" = e \otimes a" = (a' \otimes a) \otimes a" = a' \otimes (a \otimes a") = a' \otimes e = a' \)
Y resulta que los dos hipotéticos inversos son el mismo.

Denotemos por \( x \) al elemento inverso de \( a' \), siendo \( a' \) el inverso de \( a \); podemos hacer:
    \( \begin{array}{l} a' \otimes x = e \; \; ; \; \; a \otimes (a' \otimes x) = a \otimes e = a \\ \\ a \otimes (a' \otimes x) = (a \otimes a') x = e \otimes x = x \end{array}\)
Y queda demostrado lo que nos proponíamos.
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tema escrito por: José Antonio Hervás