PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 48

Veamos si la primera de las leyes de composición interna definidas es asociativa:
    \( \begin{array}{l} x \oplus (y \oplus z) = 3x + 2(x \oplus z) = 3x + 2(3y + 2z) = 3x + 6y + 4z \\ \\ \\ (x \oplus y) \oplus z = 3(x \oplus y) + 2z = 3(3x + 2y) + 2z = 9x + 6y + 2z \end{array}\)
Y resulta que esta primera ley solo es asociativa cuando se verifica cuando tomamos \( z = 3x \).

Veamos si es conmutativa:
    \( x \oplus y = 3x + 2y \neq 3y + 2x = y \oplus x\)
Y la ley no es conmutativa.

Veamos ahora si es asociativa la segunda de las leyes de composición interna definidas:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} x \otimes (y \otimes z) = 4x(y \otimes z) = 4x(4yz) = 16xyz \\ \\ \\ (x \otimes y) \otimes z = 4(x \otimes y)z = 4(4xy)z = 16xyz \end{array}\)
Y resulta que esta primera ley si es asociativa al ser conmutativa la multiplicación ordinaria.

Veamos si es conmutativa:
    \( x \otimes y = 4xy = 4yx = y \otimes x\)
Y en este caso, la ley si es conmutativa.

Estudiamos ahora si alguna de las leyes definidas es distributiva respecto de la otra; en el primer caso hacemos:
    \( \begin{array}{l} (x \otimes y) \oplus z = 3(x \oplus y) + 2z = 3(4xy) + 2z = 12xy + 2z\\ \\ \\ (x \oplus y) \otimes (y \oplus z) = 4(x \oplus z)(y \oplus z) = 4(3x + 2z)(3y + 2z) = \\ \\ = 36xy + 24 xz + 24 zy + 16z^2 \end{array}\)
Y en este caso, la ley no es distributiva.

En el segundo caso resulta:
    \( \begin{array}{l} (x \oplus y) \otimes z = 4(x \oplus y)z = 4(3x + 2y)z = 12xz + 8yz \\ \\ (x \otimes z) \oplus (y \otimes z) = 3(x \otimes z) + 2(y \otimes z) =\\ \\ 3(4xz) + 2(4yz) = 12xz + 8yz \end{array}\)
Y en este caso, la ley \( \otimes \) si es distributiva respecto a la ley \( \oplus \).

Los cálculos están hechos operando por la derecha; al mismo resultado habríamos llegado operando por la izquierda,
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tema escrito por: José Antonio Hervás