PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 47

Veamos si la ley de composición interna definida es asociativa:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} a \otimes (b \otimes c) = \frac{(a \otimes b)c + 1}{(a \otimes b)+c} = \frac{ \displaystyle \left(\frac{a b+1}{a+b}\right)c+1}{\displaystyle \left(\frac{a b+1}{a+b}\right)+c} = \frac{abc + c + a + b}{ab + 1 + ac + bc } \\ \\ \\ \\ (a \otimes b) \otimes c = \frac{a(b \otimes c) +1}{a+b( \otimes c) } = \frac{ \displaystyle a \left(\frac{ bc+1}{b+c}\right)+1}{\displaystyle a + \left(\frac{ bc+1}{b+c}\right)} = \frac{abc + a + b + c}{ab + ac + bc +1} \end{array}\)
Y puesto que obtenemos el mismo resultado operando a izquierda o a derecha, hemos comprobado que la ley definida sí es asociativa.
Veamos si es conmutativa:
    \( \displaystyle a \otimes b = \frac{ab + 1}{a+b} = \frac{ba + 1}{b + a} = b \otimes a \)
Y la ley es conmutativa por serlo la multiplicación (•) y la adición (+) normales en R.
Elemento neutro. Se ha de cumplir:
    \( \exists x \in R \quad | \quad e \otimes x = x \otimes e = x \; , \; \forall x \in R \)
Por lo tanto, hacemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \left. \begin{array}{c} e \otimes x = \frac{ex + 1}{e+x} \\ \\ x \otimes e = \frac{xe+1}{x+e}\end{array}\right\}\quad e \otimes x = x \; \Rightarrow\\
     \\
    \Rightarrow \frac{ex+1}{e+x} = x \; \Rightarrow \; ex + 1 = ex + x^2 \Rightarrow x^2 = 1
    \end{array}\)
Y no existe elemento neutro.
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tema escrito por: José Antonio Hervás