PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Demostrar que la relación definida por :
    \( (m, n) \; R \; (p, q) \Leftrightarrow m + q = n + p \)
Donde m, n, p, q son números y el signo + representa a la adición ordinaria, es una relación de equivalencia

Respuesta al ejercicio 46
Como sabemos, para que una relación dada,R, sea una relación de equivalencia, se han de cumplir las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. En este caso, tenemos:
    Propiedad reflexiva \(m + n = n + ma \Leftrightarrow (m, n) \; R \; (n, m) \)
Por lo tanto, se cumple la propiedad reflexiva.
    Propiedad simétrica

    \(\begin{array}{l} (m, n) \; R \; (p, q) \Leftrightarrow m + q = n + p \Leftrightarrow \\  \\ \Leftrightarrow n+p = m+q \Leftrightarrow (p, q) \; R \; (m, n) \end{array}\)
Y también se verifica la propiedad simétrica.

Finalmente:

Propiedad transitiva
    \(\begin{array}{l} (m, n) \; R \; (p, q) \; \wedge \; (p, q) \; R \; (r, s) \Leftrightarrow \\  \\ m + q = n + p \; \wedge \; p + s = q+r \Leftrightarrow\\  \\ m+q+p+s = n+p+q+r \Leftrightarrow \\  \\ m+s = n+r \Leftrightarrow(m, n) \; R \; (r, s) \end{array}\)
Y podemos concluir que la relación definida es de equivalencia.
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tema escrito por: José Antonio Hervás