PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de algebra lineal - estructuras algebraicas

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Ejercicios de álgebra

Respuesta al ejercicio 46
Como sabemos, para que una relación dada,R, sea una relación de equivalencia, se han de cumplir las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. En este caso, tenemos:
    Propiedad reflexiva \(m + n = n + ma \Leftrightarrow (m, n) \; R \; (n, m) \)
Por lo tanto, se cumple la propiedad reflexiva.
    Propiedad simétrica

    \(\begin{array}{l} (m, n) \; R \; (p, q) \Leftrightarrow m + q = n + p \Leftrightarrow \\  \\ \Leftrightarrow n+p = m+q \Leftrightarrow (p, q) \; R \; (m, n) \end{array}\)
Y también se verifica la propiedad simétrica.

Finalmente:

Propiedad transitiva
    \(\begin{array}{l} (m, n) \; R \; (p, q) \; \wedge \; (p, q) \; R \; (r, s) \Leftrightarrow \\  \\ m + q = n + p \; \wedge \; p + s = q+r \Leftrightarrow\\  \\ m+q+p+s = n+p+q+r \Leftrightarrow \\  \\ m+s = n+r \Leftrightarrow(m, n) \; R \; (r, s) \end{array}\)
Y podemos concluir que la relación definida es de equivalencia.
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - TEORÍA DE CONJUNTOS - MATEMÁTICAS


tema escrito por: José Antonio Hervás